Esistenza degli infinitesimi e degli infiniti¶
I numeri reali sono profondamente collegati alla lunghezza di segmenti. Ogni numero reale può essere visto come la lunghezza di un segmento e, quello che è più problematico per il nostro lavoro, ogni segmento ha come lunghezza un numero reale. Quindi tutti i punti della retta sono già occupati a rappresentare numeri reali. Ma allora, gli strumenti visti nel capitolo precedente visualizzano dei miraggi o mostrano degli oggetti matematici coerenti?
Il postulato di Eudosso-Archimede¶
Una esperienza che possiamo fare è quella di prendere un foglietto di carta e dividerlo a metà, poi prendere una di queste metà e dividerla ancora a metà e continuare così con la metà della metà della metà e poi la metà della ... Continuando così possiamo far diventare il nostro foglietto piccolo quanto vogliamo. Ovviamente con oggetti fisici abbiamo delle limitazioni, ma con segmenti possiamo pensare di continuare questa operazione fin che vogliamo.
Detto in altro modo, se abbiamo un segmento A piccolo quanto vogliamo e un segmento B grande quanto vogliamo e continuiamo a dimezzare B, prima o poi otterremo un segmento più piccolo di A.
Questa proprietà dei segmenti, che è abbastanza evidente, non si può dimostrare, ma Eudosso prima, Archimede poi e molti altri matematici hanno suggerito di prenderla per vera. È il cosiddetto postulato di Eudosso-Archimede che può essere espresso in una di questa due forme:
1. Dati due segmenti diversi, esiste sempre un multiplo del minore che supera il maggiore.
2. Dati due segmenti diversi, esiste sempre un sottomultiplo del maggiore che è più piccolo del minore.
Sono espressioni diverse dello stesso concetto: è sempre possibile misurare un segmento, cioè esprimere la lunghezza di un segmento attraverso un numero (che sarà necessariamente positivo). Questo numero è multiplo, o sottomultiplo dell’unità di misura, cioè è un numero finito, che rappresenta quante volte il segmento contiene il segmento unitario.
Questo postulato esclude la possibilità che esistano segmenti infiniti o infinitesimi. Infatti il multiplo di un segmento finito è ancora finito e quindi, se è vera la prima affermazione, posso considerare un segmento B grande quanto voglio, ma sarà sempre più piccolo di un multiplo di un segmento finito, quindi sarà più piccolo di un segmento finito perciò non può essere infinito.
Analogamente, se prendiamo per buono il postulato di Eudosso-Archimede, possiamo dimostrare che non può esistere un segmento più piccolo di un qualunque altro segmento finito.
Con questo abbiamo dimostrato che non possono esistere infiniti o infinitesimi.
...
Stando così le cose, gli strumenti del capitolo precedente sono degli imbrogli e il resto del libro è fatto da pagine bianche.
Riassumendo:
- abbiamo dimostrato che non esistono infiniti e infinitesimi;
- la dimostrazione è basata sul postulato di Eudosso-Archimede;
Ma i postulati sono accordi tra matematici, non sono verità rivelate, e un accordo può essere cambiato. Se ci mettiamo d’accordo che non vale il postulato di Eudosso-Archimede allora possono esistere segmenti (e quindi numeri) infinitesimi e infiniti, gli strumenti presentati nel capitolo precedente non sono imbrogli e possiamo andare avanti a studiare il resto del libro.
D’ora in poi, chiameremo numeri standard i numeri che, in valore assoluto, esprimono le misure dei segmenti abituali; chiameremo non standard i numeri che coinvolgono quantità infinitesime o infinite.
Possiamo quindi scegliere: o Eudosso-Archimede o (esclusivo) numeri non standard. Visto che infiniti e infinitesimi possono risultare comodi teniamo questi ultimi e abbandoniamo il postulato.
Riassumendo¶
L’esistenza di numeri infiniti e infinitesimi contraddice il postulato di Eudosso-Archimede. Se vogliamo usare i primi dobbiamo abbandonare quest’ultimo.
Esercizi¶
Dimostra che se vale il postulato di Eudosso-Archimede non può esistere un segmento infinitesimo.