Uso degli infinitesimi e degli infiniti¶

Il calcolo infinitesimale fa uso di quantità infinitamente piccole, o infinitesime, e di quantità infinitamente grandi, o infinite. Dovremo quindi ricorrere a un insieme di numeri che comprenda numeri infinitesimi e numeri infiniti: i numeri iperreali. Prima di introdurre i numeri iperreali affrontiamo in modo informale alcuni problemi in modo da entrare nello spirito del calcolo infinitesimale.

Ascissa del vertice della parabola¶

Cominciamo da un problema molto semplice di cui conoscete già la soluzione:

Determinare l’ascissa del vertice della parabola di equazione $y = ax^2 + bx + c$ .

Per altre vie abbiamo imparato che l’ascissa del vertice è: $- \frac{b}{2a}$ , ma ora vogliamo provare a ottenere lo stesso risultato usando quantità infinitesimali.

Supponiamo di poter usare quantità infinitamente piccole e di avere a disposizione un potentissimo microscopio col quale visualizzarle. Se puntiamo il nostro microscopio su un punto della parabola, ecco che il grafico risulta indistinguibile da un segmento rettilineo. Se puntiamo il microscopio in diversi punti del grafico, l’immagine al microscopio sarà quella di un segmento con una pendenza variabile.

La pendenza di un segmento nel piano cartesiano abituale è data dal rapporto fra l’incremento delle ordinate e l’incremento delle ascisse dei suoi estremi $\frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ , Se il segmento è orizzontale, la sua pendenza è nulla, cioè non vi è incremento di ordinate ( $\Delta y=0$ ) e infatti i valori di ordinata dei due estremi sono uguali. Ma se immaginiamo di usare quantità infinitesime, e quindi vediamo il segmento orizzontale grazie al microscopio, potrebbe succedere di vedere il segmento orizzontale perché il microscopio, mentre coglie l’incremento delle ascisse non è così potente da riuscire a cogliere l’incremento delle ordinate agli estremi. In questo caso avremmo bisogno di un microscopio più potente e allora diciamo che l’incremento infinitesimo in ordinata è di ordine superiore rispetto a quello visualizzato in ascissa.

Il vertice della parabola è caratterizzato dal fatto di essere l’unico punto per il quale il microscopio ci mostra un segmento orizzontale. Usando il linguaggio precedente, questo significa che se ci spostiamo di un tratto infinitesimo dall’ascissa del vertice, allora la variazione di ordinata è un infinitesimo di ordine superiore allo spostamento infinitesimo in ascissa.

Traduciamo le considerazioni precedenti in un calcolo. Sia $\delta$ un numero infinitesimo.

Parabola e super microscopi.

Calcoliamo ora la variazione di ordinata sulla parabola passando da $x$ a $x + \delta$ . L’ordinata corrispondente a $x + \delta$ è:

$a ( x + \delta ) ^2 + b( x + \delta ) + c = = a ( x^2 + 2 x \delta + \delta ^2 ) + b x + b \delta + c = = a x^2 + 2 ax\delta + a \delta ^2 + b x + b \delta + c$

Poiché l’ordinata corrispondente a $x$ è $a x^2 + b x +c$ , la variazione cercata è:

$a x^2 + 2 ax\delta + a \delta ^2 + b x + b \delta + c - (a x^2 + b x +c) = = 2 a x \delta + b \delta + a \delta^2 = = (2ax +b)\delta + a \delta^2.$

Ma $\delta^2$ è un infinitesimo di ordine superiore a $\delta$ perché rapportato a $\delta$ dà: $\frac{\delta^2}{\delta}=\delta$ che è un infinitesimo. Dunque $\delta^2$ è un infinitesimo anche rispetto a $\delta$ . L’ascissa del vertice della parabola sarà allora quel numero $x$ per il quale la variazione di ordinata, $(2ax +b)\delta + a \delta^2$ , conterrà soltanto il termine $\delta^2$ . Deve essere quindi $2ax+b=0$ da cui: $x= - \frac{b}{2a}$ .

Tangente a una parabola¶

La retta t è tangente in P e secante in A e B.

Passiamo ora ad un altro problema: trovare l’equazione della retta tangente alla parabola $y=x^2$ nel punto di ascissa $x_0=3$ . A volte per brevità viene definita la tangente come quella retta che ha in comune con la curva un solo punto. Ma questa definizione non è soddisfacente in generale. In certi casi una retta può essere tangente ad una curva in un punto e intersecarla in altri punti. Possiamo risolvere il problema con il metodo del fascio di rette:

troviamo le coordinate del punto $P$ di tangenza: $y_P = {x_p}^2 = 3^2 = 9$
scriviamo l’equazione del fascio di rette passanti per $P$ : $y-y_p = m (x-x_p) \Rightarrow y-9 = m(x-3) \Rightarrow y = m(x-3) + 9$
Calcoliamo le intersezioni tra retta e parabola: $\left\{\begin{array}{l} y = x^2\\ y = m(x-3)+9 \end{array} \right.$

Sostituendo otteniamo l’equazione risolvente: $x^2 - mx + 3m -9 = 0$
imponiamo che le intersezioni tra la generica retta del fascio e la parabola siano coincidenti cioè che l’equazione risolvente abbia le due soluzioni coincidenti cioè abbia il discriminante uguale a zero: $\Delta = m^2 - 4 (3m -9) = m^2 -12m + 36 = (m - 6)^2$

e quindi $\Delta = 0$ quando $m = 6$

La retta tangente è quindi la retta del fascio che ha pendenza uguale a $6$ cioè la retta di equazione: $y = 6(x-3)+9 \Rightarrow y = 6x - 9$

Questo metodo funziona perché la parabola ha un’equazione di secondo grado. Già per risolvere lo stesso problema con un’equazione di terzo grado, ad esempio la cubica: $y = x^3$ , lo stesso metodo non funziona (perché?).

Definiamo come retta tangente ad un grafico di una funzione in un suo punto l’unica retta che, nel campo visivo di un microscopio che ci consente di vedere spostamenti infinitesimi, risulta indistinguibile dal grafico della funzione. In termini più precisi, si tratta dell’unica retta per la quale la differenza tra la sua ordinata e l’ordinata del grafico della funzione, calcolata per un valore di ascissa a distanza infinitesima dall’ascissa del punto di contatto, risulta essere un infinitesimo di ordine superiore all’incremento infinitesimo in ascissa.

Ma vediamo di fare il calcolo. Come già visto, una generica retta per il punto $P_0 = (3, 9)$ ha equazione $y = m(x-3) + 9$ . Invece del punto di ascissa 3, consideriamo il punto di ascissa $3 + \delta$ , dove $\delta$ , è un numero infinitesimo.

Troviamo quanto vale l’ordinata della retta in quel punto. Sostituiamo a $x$ il valore $3x + \delta$ ottenendo: $y = m(3 + \delta -3) + 9 = m \delta + 9$

E quanto vale l’ordinata della parabola in quel punto?: $(3 + \delta)^2 = \delta^2 + 6\delta +9$ .

La differenza delle ordinate vale allora: $\delta^2 + 6\delta +9 -m \delta - 9 = m \delta^2 +6 \delta - m \delta$ che possiamo scrivere: $(-m + 6) \delta + \delta^2$

Imponendo che si annulli la parte dello stesso ordine di $\delta$ quindi: $-m + 6 = 0$ e $m = 6$

Il risultato è lo stesso ottenuto con l’altro metodo, ma qui non abbiamo utilizzato le equazioni di secondo grado e il discriminante. Questo metodo è più generale e si può applicare, ad esempio, anche alla ricerca di tangenti in parabole di grado superiore.

Possiamo rivedere il problema da un punto di vista leggermente diverso: possiamo cercare la pendenza di una retta che passa per un punto della parabola e per un altro punto (sempre della parabola) infinitamente vicino a questo. Oltre al punto $P_0 (3, 9)$ consideriamo il punto $P$ di ascissa $3 + \delta$ dove $\delta$ è un infinitesimo.

L’ordinata di $P$ è allora: $(3 + \delta)^2 = 9 +6 \delta + \delta^2$ e la pendenza del segmento $P_0 P$ è:

$\frac{\Delta_y}{\Delta_x} = \frac{9 +6 \delta + \delta^2 - 9}{3 + \delta -3} = \frac{6 \delta + \delta^2}{\delta} = 6 + \delta$

Ma l’unico numero reale a cui il numero $6 + \delta$ è infinitamente vicino è proprio $6$ e ritroviamo così lo stesso valore.

Cerchio osculatore al vertice della parabola¶

La tangente è la retta che meglio approssima una curva in un suo punto. Il cerchio osculatore è la circonferenza che meglio approssima una curva in un suo punto.

Problema: trovare qual è la circonferenza che meglio approssima la parabola: $y = x^2$ nel suo vertice.

Parabola e circonferenza passante per il vertice. La circonferenza ha centro sull’asse y e sull’asse del segmento OP.

Soluzione: dato che per individuare una circonferenza abbiamo bisogno di 3 punti, dobbiamo considerare, oltre al punto dato, altri due punti infinitamente vicini a questo. Possiamo osservare che, per questioni di simmetria, il centro della circonferenza starà sull’asse di simmetria della parabola. Il centro della circonferenza sarà l’intersezione dell’asse del segmento $OP$ con l’asse $y$ quando il punto $P$ si avvicina infinitamente a al punto $O$ .

Il punto $O$ ha coordinate $(0; 0)$ il punto $P$ ha ascissa $\delta$ e ordinata $\delta^2$

Ricerca del cerchio osculatore. $P(\delta;\delta^2)$ percorre la parabola avvicinandosi al suo vertice. Individua così una circonferenza di raggio progressivamente minore.

Dato che i punti dell’asse del segmento sono equidistanti dagli estremi, l’equazione dell’asse sarà: $x^2 + y^2 = (x+\delta)^2 + (y - \delta^2)^2$ che diventa:

$x^2 + y^2 = x^2 - 2 x \delta + \delta^2 + y^2 - 2 y \delta^2 + \delta^4$

Spostando tutto a primo membro ed eliminando i termini opposti si ottiene:

$2 x \delta - \delta^2 + 2 y \delta^2 - \delta^4 = 0$

L’intersezione con l’asse $y$ si ottiene ponendo $x = 0$ quindi l’equazione diventa

$- \delta^2 + 2 y \delta^2 - \delta^4 = 0$

da cui ricavo:

$y = \frac {\delta^2 + \delta^4} {2 \delta^2} = \frac {1 + \delta^2} {2} = \frac {1} {2} + \frac {\delta^2} {2}=$

Il valore esatto dell’ordinata del centro è il numero reale che è infinitamente vicino a questo “numero”. Ma l’unico numero che è infinitamente vicino a $\frac{1}{2}$ più un infinitesimo è proprio $\frac{1}{2}$ Il centro del cerchio osculatore è quindi il punto $C = (0, \frac{1}{2})$ e il suo raggio è $r = \frac{1}{2}$ per cui l’equazione della circonferenza è:

$x^2 + (y - \frac{1}{2})^2 = (\frac{1}{2})^2 x^2 + y^2 - y + \frac{1}{4} = \frac{1}{4} x^2 + y^2 - y =0$

Questo può ricordarci che una porzione limitata di uno specchio sferico si comporta come uno specchio parabolico avente il fuoco a una distanza pari alla metà del raggio.

Riassumendo¶

Usando quantità “infinitesime” possiamo risolvere problemi che sappiamo già risolvere con metodi algebrici. Gli “infinitesimi” forniscono uno strumento più generale che ci permette di risolvere anche problemi che con il metodo algebrico non sapremmo affrontare. Gli “infinitesimi” sarebbero comodi, peccato che non sappiamo se esistono.

Esercizi¶

Calcola la tangente ad una parabola cubica nel punto $P = (1; 1)$ .
Calcola le tangenti alle curve: $y = x^1$ , $y = x^2$ , $y = x^3$ , $y = x^4$ , $y = x^5$ , ... nel punto: $P = (1; 1)$ e confrontale tra di loro.