Il valore medio e il baricentro¶

La media delle funzioni¶

Tutti sappiamo cos’è la media di alcuni numeri: è il valore che tutti i numeri avrebbero uguale, se volessimo ottenere la stessa somma. Per esempio la media fra $5,6,7,8$ è $6,5$ non perché sia il valore intermedio, ma perchè i numeri dati sommano $26$ , e se ognuno di quei numeri fosse $6,5$ otterremmo la stessa somma.

Il concetto di media sottintende quindi un procedimento di somma e di successiva divisione per il numero di valori da mediare. Questo ci porta a utilizzare le tecniche di calcolo apprese fino qui.

La media degli $n$ valori di una successione $\langle y_k \rangle_1^n$ sarà $\mu=\frac{1}{n}\sum_1^ny_k$ e $\mu$ è detto valore medio della successione. Notare che se l’indice $k$ varia fra $1$ e $n$ si contano $n$ termini, cioè $n-1+1$ . Supponiamo che la successione precedente sia ricavata a partire dal tredicesimo termine di un’altra successione $\left\langle y_k \right\rangle_{13}^{16}=\{5,6,7,8\}$ . Il valor medio non cambia, i termini sono sempre 4, cioè $16-13+1$ . Quindi se la successione è genericamente $\left\langle y_k \right\rangle_m^n$ , allora la formula del valor medio diventa

$\mu=\frac{1}{n-m+1}\sum_1^ny_k.$

Nel caso di una funzione a dominio discreto $f:\{x_k\}_m^n\to \mathbf{R}$ , con $y_k=f(x_k)$ , la formula precedente va adattata. Fra due $x_k$ consecutivi la differenza in genere non è $1$ , come accade per gli indici. I punti del grafico hanno distanze orizzontali $\Delta x_k$ in genere diverse, da sommare nel denominatore della formula, che diventa $\sum_m^n\Delta x_k=x_{n+1}-x_m$ . Per la somma al numeratore, poiché i punti non sono equidistanziati come in una successione, bisogna considerare che ogni $y_k$ che si aggiunge pesa nella somma di più o di meno, anche in relazione all’intervallo $\Delta x_k$ che lo distanzia dal valore successivo. Per questo abbiamo:

$\mu=\frac{\sum_m^n y_k\Delta x_k}{\sum_m^n\Delta x_k}= \frac{\sum_m^n y_k\Delta x_k}{x_{n+1}-x_m}=\frac{Y_{n+1}-Y_m}{x_{n+1}-x_m}$

dove abbiamo fatto uso anche del teorema fondamentale del calcolo delle somme. Si tratta di una media pesata: ogni $y_k$ pesa sulla somma tante volte quante sono indicate da $\Delta x_k$ . Per fare un esempio semplice, cerchiamo la media di: $1, 4, 4, 5, 5, 5$

$\mu=\frac{1+4+4+5+5+5}{6}&=\frac{1\cdot1+4\cdot 2+5\cdot 3}{1+2+3}=4$

cioè il calcolo viene organizzato moltiplicando ogni valore per la frequenza (=il numero di volte) con cui compare. Un altro esempio per questa formula viene dalla cinematica. In questo caso $\mu$ è la velocità media, cioè il rapporto fra lo spazio percorso $Y_{n+1}-Y_m$ e l’intervallo di tempo $x_{n+1}-x_m$ . Lo spazio, poi, è calcolabile come differenza fra le due posizioni iniziale e finale, ma è anche $\sum_m^n y_k\Delta x_k$ , la somma dei vari tratti che si ottengono moltiplicando la velocità per la durata, in ogni tratto.

Consideriamo ora il caso di una funzione continua $f:[a,b]\to \mathbf{R}$ e cerchiamo il suo valore medio. Possiamo figurarci che $y=f(x)$ rappresenti la velocità all’istante $x$ di un punto che si muove su una retta. Se dividiamo l’intervallo dei tempi mediante infiniti punti in modo da avere

$a=x_0<x_1<x_2< ... <x_N=b$

$f(\bar{x}_k)$ sarà la velocità nel k_esimo intervallo infinitesimo di tempo. La media pesata delle velocità è

$\frac{\int_0^{N-1}f(\bar{x}_k)dx_k}{\int_0^{N-1}dx_k}\sim \frac{\int_a^bf(x)dx}{b-a}$

e quindi il valore medio della funzione è

$\mu=\frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)dx.$

che corrisponde, secondo il teorema fondamentale del calcolo integrale, a $\frac{F(b)-F(a)}{b-a}$ , dove $F$ è una qualsiasi primitiva. Nel parallelo cinematico, $\mu$ è la velocità media.

Ma esiste un altro parallelo interessante, quello geometrico. Poiché l’integrale rappresenta l’area (con il suo segno) sottesa alla curva e $b-a$ è la misura della base di questa regione, allora $\mu$ è l’altezza media, necessaria ad un rettangolo per essere equiesteso (considerando aree positive e negative). Lo stesso ragionamento si può fare per le funzioni a dominio discreto.

Qualche esempio¶

Calcola il valore medio di $y=x^2$ nell’intervallo $[0,1]$ .

La soluzione:

$\mu=\frac{1}{1-0}\int_0^1x^2dx=\left[\frac{x^3}{3} \right]_0^1=\frac{1}{3}.$

Quindi, se tagliamo il grafico della funzione con un segmento orizzontale all’altezza $y=\mu=\frac{1}{3}$ nell’intervallo dato , isoliamo un rettangolo equiesteso alla figura curvilinea limitata dal grafico.

Calcola il valore medio di $y=\sin x$ nell’intervallo $[0,\pi]$ .

La soluzione:

$\mu=\frac{1}{\pi-0}\int_0^\pi\sin xdx=\frac{1}{\pi}\left[-\cos x\right]_0^\pi= \frac{-\cos\pi+\cos 0}{\pi}=\frac{2}{\pi}=0,637.$

In ogni disegno della figura precedente, le parti grigie riempiono in vario modo zone equiestese.

L’asta rotante¶

C’è una rappresentazione meccanica per l’ultimo risultato. Si immagina un’asta di lunghezza unitaria che ruota attorno al proprio asse nel piano del foglio. Il movimento avviene a scatti di ampiezza $\pi/N$ , con $N$ ipernaturale infinito.

Dopo $N$ scatti l’asta ha ruotato di un angolo piatto e un osservatore posto sul piano di rotazione ha visto crescere ad ogni scatto la lunghezza apparente dell’asta, fino alla sua misura reale, corrispondente ad una rotazione di $\pi/2$ , per poi decrescere. La somma delle lunghezze apparenti è il diametro del poligono regolare di cui l’asta ha disegnato il semiperimetro. L’integrale del secondo esempio misura il diametro della figura e il risultato, diviso per il numero di scatti compiuti dal movimento, rappresenta la lunghezza media apparente dell’asta. Approssimiamo il poligono con una circonferenza di lunghezza $2N$ , così otteniamo che il diametro è lungo $2N/\pi$ e quindi l’asta appare lunga in media $2/\pi$ .

La media e le funzioni¶

La media di una funzione a dominio discreto può benissimo essere diversa da ogni valore che la funzione assume nell’intervallo.

Ma questo non può avvenire per una funzione continua: almeno uno dei suoi valori è uguale al valore medio.

Negli esempi precedenti è facile individuare questi casi. $y=x^2$ raggiunge il valore medio, relativamente all’intervallo $[0,1]$ , per $x^2=\frac{1}{3}\ \to\ x=\frac{1}{\sqrt{3}}$ .

Invece $y=\sin x$ nell’intervallo $[0,\pi]$ assume il valor medio in due casi: $x=\arcsin \frac{2}{\pi}=0,690$ e $x=\pi-\arcsin \frac{2}{\pi}=2,451$ , per cui l’asta per due volte appare lunga quanto la sua lunghezza media apparente.

Il fatto che questo sia vero per tutte le funzioni continue può essere dimostrato. Infatti una funzione $f:[a,b]\to\mathbf{R}$ , se è continua ammette un minimo assoluto ( $m$ ) e un massimo assoluto ( $M$ ) e assume ogni valore fra i due. La conseguenza è

$m(b-a)\le\int_a^b&f(x)dx\le M(b-a)\\ m\le\frac{1}{b-a}\int_a^b&f(x)dx\le M$

quindi esiste un punto $c: \ a\le x\le b$ tale che

$f(c)=\frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)dx=\mu.$

In relazione al concetto di media, la differenza fra le funzioni a dominio discreto e le funzioni continue è che entrambi i tipi di funzioni hanno un valore medio compreso fra il minimo e il massimo della funzione nell’intervallo dato, ma solo le funzioni continue assumono questo valore almeno una volta.

La dispersione e la deviazione standard¶

Una coppia di quarantenni ha la stessa età media che c’è fra un bimbo di due anni e un nonno di $78$ . La differenza fra i due gruppi è la dispersione dei valori che danno luogo allo stesso valore medio. Le considerazioni che seguono riguardano appunto il concetto di dispersione.

Data una successione di valori $\langle y_k\rangle_1^n$ che ha media $\mu$ , ogni valore ha una differenza rispetto alla media data da $s_k=y_k-\mu$ . $s_k$ si chiama scarto. Gli scarti formano una successione $\langle s_k\rangle$ che ha valore medio nullo perché gli scarti di segno positivo compensano quelli di segno negativo. Per avere un’idea di quanto siano dispersi i valori, si considera non la media degli scarti, che è $0$ , ma la media $V$ dei loro quadrati: la varianza.

$V=\frac{1}{n}\sum_1^ns_k^2=\frac{1}{n}\sum_1^n(y_k-\mu)^2$

Lo stesso ragionamento, riportato al caso di una funzione continua $f:[a,b]\to\mathbf{R}$ con valore medio $\mu$ e funzione degli scarti $s(x)=f(x)-\mu$ , dà

$V=\frac{1}{b-a}\int_a^bs(x)^2dx=\frac{1}{b-a}\int_a^b[f(x)-\mu]^2dx$

Avere considerato i quadrati degli scarti evita che lo loro somma sia nulla, tuttavia dà un risultato medio di natura diversa dalla media della funzione. Per questo, come misura della dispersione, si preferisce considerare la radice quadrata della varianza, il cosiddetto scarto quadratico medio $\sigma$ , o deviazione standard, che si ottiene con le due formule seguenti, valide per il caso discreto e per il caso continuo:

$&\sigma=\sqrt{\frac{1}{n-m+1}\sum_m^n(y_k-\mu)^2\Delta x_k}\quad \mbox{, per }f:\{x_k\}_m^n\to \mathbf{R}\\ &\sigma=\sqrt{\frac{1}{b-a}\int_a^b[f(x)-\mu]^2dx}\quad \mbox{, per }f:[a,b]\to \mathbf{R}$

Applicazioni¶

Per fare esercizio, calcoliamo gli indici di dispersione relativi alle funzioni viste nel Par.8.1.

Nel primo esempio $y=x^2$ e $\mu=1/3$ . Allora:

$V=&\frac{1}{1-0}\int_0^1\left(x^2-\frac{1}{3} \right)^2 dx= \int_0^1\left(x^4-\frac{2}{3}x^2 +\frac{1}{9} \right)=\\ =&\left[\frac{x^5}{5}-\frac{2}{9}x^3+ \frac{1}{9}x\right]_0^1= \frac{1}{5}+\frac{2}{9}+\frac{1}{9}=\frac{4}{45}.\\ \sigma=&\sqrt{V}=\frac{2}{\sqrt{45}}=0,298.$

Nel secondo esempio $y=\sin x$ in $[0,\pi]$ e $\mu=2/\pi$ .

$V=&\frac{1}{\pi-0}\int_0^\pi\left(\sin x -\frac{2}{\pi} \right)^2 dx= \frac{1}{\pi}\int_0^\pi\left(\sin^2 x -\frac{4}{\pi}\sin x+ \frac{4}{\pi^2}\right)^2 dx=\\ =&\frac{1}{\pi}\left[\int_0^\pi \sin^2 x dx-\frac{4}{\pi}\int_0^\pi\sin x dx+ \frac{4}{\pi^2} dx\right]= \frac{1}{\pi}\left(\frac{\pi}{2}-\frac{8}{\pi}+\frac{4}{\pi} \right)=\\ =&\frac{1}{2}-\frac{4}{\pi^2}=0,0947.\\ \sigma=&\sqrt{V}=\sqrt{\frac{1}{2}-\frac{4}{\pi^2}}=0,308.$

Perché proprio i valori quadrati?¶

Sarebbe desiderabile usare un indice di dispersione che non comporti il calcolo dei quadrati degli scarti, per poi richiedere la radice quadrata del risultato. Poichè la media degli scarti, presi con il loro segno, vale zero, in effetti si potrebbero considerare gli scarti in valore assoluto, così da sommare sempre valori positivi. La formula allora sarebbe:

$\sum _m^n|x_k-\mu|\ \mbox{ oppure }\ \frac{1}{b-a}\int_a^b|f(x)-\mu|dx$

Proviamo a usare questa formula per vedere se è vantaggiosa rispetto alla deviazione standard. Consideriamo una successione di tre soli valori $\{1,2,9\}$ e calcoliamo la media, gli scarti e la loro media e infine la dispersione nei due modi che stiamo confrontando:

$&\mu=\frac{1+2+9}{3}=4\mbox{ (media)}\\ &s_1=1-4=-3\quad s_2=2-4=-2\quad s_3=9-4=5\mbox{ (scarti)}\\ &s_1+s_2+s_3=-3-2+5=0\ \to\ \frac{1}{3-1+1}\sum_1^3s_k=0\mbox{ (media degli scarti)}\\ &\frac{|s_1|+|s_2|+|s_3|}{3}=\frac{3+2+5}{3}=\frac{10}{3}=3,33\ \mbox{ (media dei valori assoluti degli scarti)}\\ &\frac{s_1^2+s_2^2+s_3^2}{3}=\frac{9+4+25}{3}=\frac{38}{3}\ \ \to\ \sigma=\sqrt{\frac{38}{3}}=3,56\mbox{ (deviazione standard)}$

I risultati sono diversi, ma questo non è preoccupante: se tutti usassero come indice della dispersione la media dei valori assoluti degli scarti, il fatto che la deviazione standard dia un risultato diverso non importerebbe. Dobbiamo capire quindi se ci sono particolari vantaggi nell’adottare un calcolo o l’altro per i nostri scopi. Il fatto di dover calcolare anche una radice quadrata in fondo è un dettaglio sopportabile, se la scelta è vantaggiosa.

Per una valutazione più generale, calcoliamo gli scarti rispetto a un qualsiasi valore $x$ , anche diverso da $\mu$ . Studiamo cioè la funzione

$g(x)=\frac{|1-x|+|2-x|+|9-x|}{3}$

Per $x=\infty$ la funzione assume valori infiniti. Lo stesso avviene per la varianza

$V(x)=\frac{(x-1)^2+(x-2)^2+(x-3)^2}{3}\sim \frac{3x^2}{3}=x^2$

e di conseguenza anche la deviazione standard, che è $\sigma(x)=\sqrt{V(x)}=|x|$ , per valori infiniti assume valori infiniti, di modo che $g(\infty)\sim \sigma(\infty)\sim |x|$ . All’infinito le due funzioni hanno lo stesso comportamento asintotico. Ci aspettiamo che esista anche un valore di $x$ per il quale le due funzioni hanno un minimo, come accade a tutte le funzioni continue. Cerchiamo ora questo minimo.

Nel caso di $g(x)$ distinguiamo i casi e poi procediamo per via grafica.

$g(x)=\begin{cases} \frac{1-x+2-x+9-x}{3}=4-x\ &\mbox{ per } x\le 1\\ \frac{x-1+2-x+9-x}{3}=\frac{10-x}{3}\ &\mbox{ per } 1<x\le 2\\ \frac{1-x+x-2+9-x}{3}=\frac{x}{3}+2\ &\mbox{ per } 2<x\le 9\\ \frac{1-x+x-2+x-9}{3}=x-4\ &\mbox{ per } x> 9 \end{cases}$

$g(x)$ ha quindi il minimo in $x=2$ , dove assume il valore $g(2)=8/3$ .

$V(x)$ è una funzione ovunque derivabile. Cerchiamo il minimo di $V(x)$ invece di quello di $\sigma(x)$ per semplicità di calcoli, dato che le due funzioni devono avere minimo per lo stesso valore di $x$ .

$V'(x)=\frac{2(x-1)+2(x-2)+2(x-9)}{3}=2x-8$

$V'(x)=0$ per $x=4$ . Il risultato suggerisce l’idea che la deviazione standard abbia minimo assoluto in corrispondenza della media dei valori. Se questo risultato non è casuale, si tratta di una proprietà rilevante, da approfondire. Per farlo, studiamo il caso generale.

Consideriamo una successione $\langle y_k\rangle_1^n$ e cerchiamo il valore per il quale la varianza è minima. Perciò scriviamo la funzione $V(x)$ , ne calcoliamo la derivata e cerchiamo il valore per cui si annulla:

$&V(x)=\frac{1}{n}\sum_1^n(x-y_k)^2\\ &V'(x)=\frac{1}{n}\sum_1^n2(x-y_k)=\frac{2}{n}\left[\sum_1^n x-\sum_1^n y_k \right]= \frac{2}{n}\left[n x-\sum_1^n y_k \right]\\ &V'(x)=0\ \to \ n x=\sum_1^n y_k\ \to \ x=\frac{1}{n}\sum_1^n y_k=\mu$

Si tratta di una proprietà generale: la varianza, e di conseguenza la deviazione standard, sono funzioni che hanno il minimo assoluto in coincidenza del valore medio. Sono quindi funzioni particolarmente indicate per esprimere la dispersione dei valori attorno alla media.

Il baricentro¶

Il baricentro è un punto particolarmente importante di un corpo o di un sistema di masse: è un punto di equilibrio per la distribuzione delle masse del corpo. Il calcolo della posizione del baricentro coinvolge il concetto di media e per questo ce ne occupiamo qui. A rigore, si usa distinguere il baricentro (letteralmente: centro dei pesi) dal centro di massa, ma la distinzione diventa significativa se masse uguali del sistema hanno peso diverso. Questo potrebbe accadere per esempio se due masse identiche sono collocate una vicino alla superficie terrestre e l’altra molto lontano, cosa che non è abituale. Quindi, nel seguito del nostro discorso, useremo il termine baricentro come se coincidesse con il centro di massa.

Il caso discreto¶

Iniziamo da un caso semplice, nel discreto. Due masse $m_1, m_2$ sono collocate nei punti $P_1, P_2$ , di posizione $x_1, x_2$ . Il baricentro è il punto $G$ , di coordinata $x_G$ , che divide il segmento $P_1P_2$ in parti inversamente proporzionali alle masse. Cioè:

$&\frac{P_1G}{GP_2}=\frac{m_2}{m_1}\ \mbox{ e quindi:}\\ &\frac{x_G-x_1}{x_2-x_G}=\frac{m_2}{m_1}\\ &m_1x_G-m_1x_1=m_2x_2-m_2x_G\\ &(m_1+m_2)x_G=m_1x_1+m_2x_2\\ &x_G=\frac{m_1x_1+m_2x_2}{m_1+m_2}.$

Si tratta della media pesata delle coordinate: ogni coordinata viene contata tante volte quante sono indicate dalla massa che vi risiede.

Il concetto si estende al caso di $n$ punti $P_1, P_2, ... , P_n$ di coordinate $x_1, x_2, ... , x_n$ , con masse $m_1, m_2, ... , m_n$ .

$x_G=\frac{m_1x_1+m_2x_2+ ... +m_nx_n}{m_1+m_2+ ... +m_n}=\frac{\sum_1^n m_kx_k}{\sum_1^n m_k}$

Una proprietà importante di questa formula è l’additività: il baricentro non cambia se all’interno del sistema si isolano due o più gruppi di termini e nella formula si inseriscono al loro posto le loro masse complessive e loro baricentri. In pratica significa che ogni sistema di masse può essere pensato come concentrato nel suo baricentro. Ecco i calcoli, per un sistema di $5$ masse:

$x_G=\frac{m_1x_1+m_2x_2+m_3x_3+m_4x_4+m_5x_5}{m_1+m_2+m_3+m_4+m_5}$

Calcoliamo ora i baricentri $X_1, X_2$ di due diversi sottosistemi: il primo è costituito dalle prime tre masse, il secondo dalle altre due. Al termine calcoliamo il baricentro del sistema dei due baricentri.

$&X_1=\frac{m_1x_1+m_2x_2+m_3x_3}{m_1+m_2+m_3}\\ &X_2=\frac{m_4x_4+m_5x_5}{m_4+m_5}\\ &x_H=\frac{(m_1+m_2+m_3)X_1+(m_4+m_5)X_2}{(m_1+m_2+m_3)+(m_4+m_5)}=\\ &=\frac{(m_1+m_2+m_3)\frac{m_1x_1+m_2x_2+m_3x_3}{m_1+m_2+m_3}+(m_4+m_5) \frac{m_4x_4+m_5x_5}{m_4+m_5}}{(m_1+m_2+m_3)+(m_4+m_5)}=\\ &=\frac{m_1x_1+m_2x_2+m_3x_3+m_4x_4+m_5x_5}{m_1+m_2+m_3+m_4+m_5}=x_G.$

Il caso continuo¶

Pensiamo una barra omogenea di lunghezza $L$ . Il suo modello geometrico è un segmento $[0,L]$ . Se la barra è sottile e omogenea, la massa è distribuita ugualmente in tutta la lunghezza e il baricentro si trova necessariamente in $L/2$ . Se la massa è omogenea, in ogni punto la massa ha densità media, data dal rapporto

$\lambda=\frac{M}{L}.$

Se la massa non è omogenea, la densità varia da punto a punto e abbiamo bisogno di una descrizione dettagliata di come la densità è distribuita lungo la barra. La massa è quindi una funzione della distanza da un estremo: $m(0)=0,\ m(L)=M$ . Dividiamo la lunghezza della barra in $n$ parti mediante i punti di suddivisione $0=x_0<x_1< ... <x_n=L$ e consideriamo la massa di ogni parte $\Delta m_k=m(x_{k+1})-m(x_k)$ e la densità lineare media di quel tratto come $\lambda_k=\frac{\Delta m_k}{\Delta x_k}$ . Come primo approccio possiamo pensare che i punti siano in progressione aritmetica e quindi le porzioni di barra siano di uguale lunghezza. Ma la suddivisione può diventare più fitta e, come abbiamo già visto in tanti altri casi, la funzione che descrive la densità ha un grafico a scalini che si avvicina ad una curva continua.

La massa è rappresentata dall’area sottesa al grafico della densità, e si ottiene da

$M=m_n-m_0=\sum_0^{n-1}\lambda_k\Delta x_k$

che rispecchia il teorema fondamentale del calcolo delle somme.

Se invece affiniamo l’analisi della densità lineare, dandone una descrizione punto per punto, in modo che $\lambda=\lambda(x)$ , allora possiamo dividere la barra in tratti infiniresimi $[x,x+dx]$ , ciascuno com massa $dm(x)=m(x+dx)-m(x)$ . La densità in ogni punto sarà allora la parte standard del rapporto differenziale

$st\left[\frac{dm(x)}{dx}\right]=\left[\frac{m(x+dx)-m(x)}{dx}\right]=m'(x).$

Nel caso continuo, la massa della parte di barra definita dall’intervallo $[a,b]$ si può esprimere in due modi: sia come $m(a)-m(b)$ , cioè come differenza fra le masse relative a $[0,b]$ e $[0,a]$ , sia come $\int_a^b\lambda(x)dx$ . Questo corrisponde, ovviamente, al teorema fondamentale del calcolo integrale nel caso continuo:

$\int_a^b\lambda(x)dx=m(b)-m(a)$

Possiamo dare un’immagine geometrica della densità lineare variabile: stiriamo la barra in senso trasversale, in modo da trasformarla in una lastra dal profilo ondulato. La stiriamo maggiormente dove la massa era più concentrata, e quindi la densità era maggiore, e così facendo otteniamo una lastra omogenea, cioè con densità uguale in tutti punti. In questo modo, quello che prima era il profilo della densità ora è diventato il profilo della lastra e l’area della lastra corrisponde alla massa della barra.

Il baricentro della barra si calcola, allora, come la media pesata, rispetto alla massa, delle posizioni delle varie masse. Cioè:

$x_G=\frac{\int_0^Lxdm(x)}{\int_0^Ldm(x)}=\frac{\int_0^Lx\lambda(x)dx}{\int_0^L\lambda(x)dx}.$

Due esempi¶

Calcola il baricentro del segmento $[0,2]$ , sapendo che la densità cresce secondo la funzione quadratica: $\lambda(x)=x^2$ .

Per prima cosa calcoliamo la massa totale, poi il baricentro.

$&M=\int_0^2\lambda(x)dx=\int_0^2x^2dx=\left[\frac{x^3}{3} \right]_0^2=\frac{8}{3}\\ &\int_0^2x\lambda(x)dx=\int_0^2x^3dx=\left[\frac{x^4}{4} \right]_0^2=\frac{16}{4}=4\\ &x_G=\frac{4}{8/3}=\frac{3}{2}.$

Dato che la densità cresce secondo $x^2$ , la massa sarà più concentrata nella zona destra del segmento e quindi è giusto che il baricentro si trovi oltre il punto medio.

Calcola il baricentro del segmento $\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$ , sapendo che la massa cresce secondo la funzione $m(x)=\sin x$ .

Note

La funzione $m(x)$ che rappresenta la massa è positiva e non può decrescere, nell’intervallo considerato. Si tratta di un’evidenza fisica: la massa è $0$ all’estremo iniziale del segmento e poi progressivamente si aggiunge, o per lo meno non decresce, anche se la densità può diminuire.

Questa volta la massa cresce sempre più lentamente nell’intervallo considerato e quindi il baricentro deve trovarsi nella prima metà del segmento. La soluzione:

$&M=\int_0^{\frac{\pi}{2}}d\sin x=[\sin x]_0^{\frac{\pi}{2}}=1\\ &x_G=\int_0^{\frac{\pi}{2}}xd\sin x=[x\sin x]_0^{\frac{\pi}{2}} -\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin xdx=\frac{\pi}{2}-1=0,57.$

Ovviamente, nella formula per il calcolo di $x_G$ manca il denominatore, dato il risultato della riga precedente.

Il baricentro di una figura piana¶

Iniziamo da un trapezoide, cioè una regione piana, limitata dal grafico di una funzione, in questo caso nel primo quadrante: $T=\{(x,y)|a\le x\le b\land 0\le y \le f(x)\}$ , con $f:[a,b]\to \mathbf{R}$ .

Per semplificare il problema, dobbiamo pensare di riferirci ad una lastra piana omogenea, cioè con la massa ugualmente distribuita e quindi con un rapporto, fra la massa di una qualsiasi porzione e l’area della sua superficie, sempre costante e uguale al rapporto medio, detto densità superficiale $\sigma$ :

$\sigma= \frac{M}{S}.$

Per determinare il baricentro dividiamo la superficie in strisce verticali di larghezza infinitesima $dx$ , di altezza $f(x)$ e di massa $dm=\sigma f(x)dx$ . La media pesata delle ascisse ci dà l’ascissa del baricentro:

$x_G=\frac{\int_a^bx\sigma f(x)dx}{\int_a^b\sigma f(x)dx}= \frac{\int_a^bx f(x)dx}{\int_a^b f(x)dx}.$

Trattandosi del baricentro di una superficie, ci serve anche la seconda dimensione. Nel caso verticale però la suddivisione dell’intervallo non è in parti infinitesime, perché ogni striscia ha altezza pari a $f(x)$ . Però ha larghezza infinitesima e quindi può essere considerata come un segmento omogeneo di lunghezza $f(x)$ . Il baricentro di una striscia si trova perciò a metà altezza e la coordinata $y_G$ si calcola come media pesata di $\frac{1}{2}f(x)$ su tutto l’intervallo:

$y_G=\frac{\int_a^b\frac{1}{2}f(x)\sigma f(x)dx}{\int_a^b\sigma f(x)dx}= \frac{\int_a^b f(x)^2dx}{2\int_a^b f(x)dx}.$

È da notare che la densità $\sigma$ si semplifica nei calcoli e questo ha un senso perché la lastra piana è omogenea e perciò contano solo le questioni geometriche.

Vediamo qualche applicazione.

Il baricentro di un semicerchio¶

Consideriamo il semicerchio definito nel semipiano superiore dalla circonferenza $x^2+y^2=r^2$ . La funzione del trapezoide allora sarà $f(x)=\sqrt{r^2-x^2}$ , con $-r\le x\le r$ . Per ragioni di simmetria, è inutile svolgere i calcoli per $x_G$ : è ovvio che $x_G=0$ . Quanto a $y_G$ , calcoliamo separatamente il numeratore e il denominatore della formula precedente:

$\int_a^b f(x)^2dx=\int_{-r}^r (r^2-x^2)dx=\left[r^2x-\frac{x^3}{3} \right]_{-r}^r= \frac{4}{3}r^3.$

L’integrale del denominatore, che fornisce la superficie del semicerchio, viene lasciato per esercizio. In ogni caso il risultato non può che essere $\frac{1}{2}\pi r^2$ . Alla fine abbiamo:

$y_G=\frac{\frac{4}{3}r^3}{2\frac{1}{2}\pi r^2}=\frac{4}{3\pi}r.$

Il baricentro di un trapezoide parabolico¶

Cerchiamo il baricentro del trapezoide compreso, nel primo quadrante, fra il grafico della funzione $y=4-x^2$ e gli assi cartesiani. Questa volta occorre calcolare entrambe le coordinate. Per l’ascissa:

$&\int_a^b f(x)dx=\int_0^2(4-x^2)dx=\left[4x-\frac{x^3}{3}\right]_0^2=\frac{16}{3}.\\ &\int_a^b xf(x)dx=\int_0^2(4x-x^3)dx=\left[2x^2-\frac{x^4}{4}\right]_0^2=4.\\ &x_G=\frac{\int_a^bx f(x)dx}{\int_a^b f(x)dx}=\frac{4}{\frac{16}{3}}=\frac{3}{4}.$

Per l’ordinata:

$&\int_a^bf(x)^2dx= \int_0^2(4-x^2)^2dx= \int_0^2f(16-8x^2+x^4)dx= \left[16x-\frac{8x^3}{3}+\frac{x^5}{5} \right]_0^2=\frac{256}{15}.\\ &y_G=\frac{\int_a^b f(x)^2dx}{2\int_a^b f(x)dx}= \frac{\frac{256}{15}}{\frac{32}{3}}=\frac{8}{5}.$

Quindi il baricentro si trova nel punto $G(3/4,8/5)$ .

Il baricentro di un grafico¶

Pensiamo al grafico di una funzione come a un filo omogeneo disteso nel piano cartesiano. Se consideriamo un intervallo $[a,b]$ , la lunghezza $L$ del filo sarà $0=l(a)$ al primo estremo e pari a $L=l(b)$ al secondo, dove la funzione $l(x)$ esprime la lunghezza del filo nel punto $x$ dell’intervallo. Definiamo anche con $m(x)$ la funzione che esprime la massa del grafico nel punto $x$ , a partire da $m(a)=0$ . Il filo è omogeneo, quindi la massa è distribuita uniformemente e la densità lineare $\lambda$ è costante e uguale alla densità media $\lambda=\frac{M}{L}=\frac{m(b)}{l(b)}$ .

Per determinare il baricentro del grafico, dividiamo $[a,b]$ in infiniti intervallini infinitesimi di ampiezza $dx$ . Le coordinate del baricentro del grafico sono allora le medie pesate delle coordinate dei tratti infinitesimi. Il tratto che va da $x$ a $x+dx$ ha una lunghezza $df(x)$ e una massa $dm(x)=\lambda(x)$ · Il suo baricentro è infinitamente vicino al punto $(x,f(x))$ . Quindi:

$&x_G=\frac{\int_a^bxdm(x)}{\int_a^bdm(x)}= \frac{\lambda\int_a^bxdl(x)}{\lambda\int_a^b dl(x)}= \frac{\int_a^bxdl(x)}{\int_a^b dl(x)}\\ &y_G=\frac{\int_a^bf(x)dm(x)}{\int_a^b dm(x)}= \frac{\lambda\int_a^bf(x)dl(x)}{\lambda\int_a^b dl(x)}= \frac{\int_a^bf(x)dl(x)} {\int_a^b dl(x)}.$

Se la funzione è derivabile, allora il tratto infinitesimo $dl$ del grafico è indistinguibile da un tratto rettilineo:

$(dl)^2\ \sim\ (dx)^2+(dy)^2\ \sim \ (dx)^2+f'(x)^2(dx)^2=[1+f'(x)^2](dx)^2.$

Ne segue che $dl=\sqrt{1+f'(x)^2}\, dx$ e la lunghezza del grafico è:

$L=\int_a^b dl=\int_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\, dx.$

Moltiplicando $dx$ per il coefficiente $\sqrt{1+f'(x)^2}$ si ottiene la lunghezza infinitesima $dl$ del tratto di grafico. Passiamo cioè dalla lunghezza del tratto orizzontale a quella del tratto, che in genere è obliquo, attraverso un coefficiente di dilatazione contenente la derivata. Infatti (e ovviamente se la funzione è derivabile), maggiore è il valore della derivata e maggiore è la lunghezza del tratto di grafico in rapporto alla lunghezza $dx$ . Per fare un esempio, se il grafico in quella posizione fosse un segmento inclinato di $45^\circ$ , la derivata varrebbe $1$ e il coefficiente $\sqrt{2}$ . Le equazioni per il baricentro sono allora:

$x_G=\frac{\int_a^bx\sqrt{1+f'(x)^2}dx}{\int_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}dx}, \quad y_G=\frac{\int_a^bf(x)\sqrt{1+f'(x)^2}dx}{\int_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}dx}.$

Baricentro di una semicirconferenza¶

Cerchiamo il baricentro della funzione

$y=\sqrt{r^2-x^2}$

Data la simmetria del grafico, il baricentro si trova sull’asse $y\ (x_G=0)$ e dobbiamo calcolare solo $y_G$ . Procediamo con ordine, un calcolo dopo l’altro, fino al risultato.

$&f'(x)=\frac{-2x}{2\sqrt{r^2-x^2}}=\frac{-x}{\sqrt{r^2-x^2}}.\\ &1+f'(x)^2=1+\frac{x^2}{r^2-x^2}=\frac{r^2}{r^2-x^2}\\ &\sqrt{1+f'(x)^2}=\frac{r}{\sqrt{r^2-x^2}}.\\ &L=\pi r.\\ &\int_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}dx=\int_{-r}^r \sqrt{r^2-x^2} \frac{r}{\sqrt{r^2-x^2}}dx= r\int_{-r}^rdx=r(2r)=2r^2.\\ &y_G=\frac{2r^2}{\pi r}=\frac{2}{\pi}r.$

Si vede anche dal disegno che la posizione verticale del baricentro deve superare la metà del raggio, perchè l’arco superiore è lungo il doppio dei due archi laterali.

Riassunto¶

La media fra più numeri è quel valore che tutti loro avrebbero, se fossero uguali. Si calcola sommando i numeri e dividendo poi la somma per quanti sono i valori da sommare.
La media di una successione $\langle y_k\rangle$ è data da $\mu=\frac{1}{n-m+1}\sum_1^ny_k$ . $\mu$ è detto valore medio della successione.
Per una funzione a dominio discreto: $f:\{x_k\}_m^n\to \mathbf{R}$ , con $y_k=f(x_k)$ , il valore medio:

$\mu=\frac{\sum_m^n y_k\Delta x_k}{\sum_m^n\Delta x_k}=\frac{Y_{n+1}-Y_m}{x_{n+1}-x_m}$

L’ultima uguaglianza deriva dal teorema fondamentale del calcolo delle somme.
Nelle funzioni continue $f:[a,b]\to \mathbf{R}$ , il valore medio è dato da

$\mu=\frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)dx.$

che corrisponde, per il teorema fondamentale del calcolo integrale, a $\frac{F(b)-F(a)}{b-a}$ . L’interpretazione geometrica del valore medio è la seguente: il valore medio di una funzione è l’altezza del rettangolo, di base $[a,b]$ , equiesteso alla regione di piano sottesa al grafico della funzione.
Se la funzione è continua, nell’intervallo dato assume almeno una volta il suo valore medio, che è compreso fra il minimo e il massimo dei valori che la funzione assume nell’intervallo. Mentre una funzione a dominio discreto non è detto che assuma il suo valore medio.
La deviazione standard $\sigma$ è un indice di quanto la distribuzione dei valori è dispersa. Si calcola secondo le seguenti formule, adatte al caso discreto e al caso continuo

$&\sigma=\sqrt{\frac{1}{n-m+1}\sum_m^n(y_k-\mu)^2\Delta x_k} \quad \mbox{, per }f:\{x_k\}_m^n\to \mathbf{R}\\ &\sigma=\sqrt{\frac{1}{b-a}\int_a^b[f(x)-\mu]^2dx} \quad \mbox{, per }f:[a,b]\to \mathbf{R}$

Rispetto a altri indici di dispersione, uno dei pregi maggiori di $\sigma$ è che viene calcolata rispetto al valore medio della funzione e per questo ha valore minimo.
Il baricentro di un sistema di masse è un punto di equilibrio per il sistema. La posizione delle masse rispetto a questo punto teorico viene contata tante volte quante è indicato dal valore della massa. Si tratta infatti di una media pesata. Nei casi ordinari baricentro e centro di massa sono equivalenti.
Nel caso discreto, di un sistema di $n$ masse allineate su una retta, si ha:

$x_G=\frac{\sum_1^n m_kx_k}{\sum_1^n m_k}$

Una delle proprietà della formula è l’additività: isolando un gruppo di masse all’interno del sistema, nel calcolo della posizione del baricentro si può inserire il baricentro del gruppo al posto di queste masse.
Il baricentro di una distribuzione continua di masse dipende da quale densità ha la massa nelle varie posizioni. Per una distribuzione lineare si ha:

$x_G=\frac{\int_0^Lxdm(x)}{\int_0^Ldm(x)}=\frac{\int_0^Lx\lambda(x)dx}{\int_0^L\lambda(x)dx}.$

dove $\lambda (x)$ è la densità lineare.
Nel caso di una distribuzione omogenea (cioè di densità costante $\sigma$ ) di masse in una superficie, trovare il baricentro è come trovare il centro geometrico della figura piana che contiene le masse. La posizione del baricentro è $G(x_G,y_G)$ .

$&x_G=\frac{\int_a^bx f(x)dx}{\int_a^b f(x)dx}, \quad y_G=\frac{\int_a^b f(x)^2dx}{2\int_a^b f(x)dx}.$
Si può calcolare il baricentro anche per il grafico di una funzione su un intervallo $[a,b]$ . Le formule sono:

$x_G=\frac{\int_a^bx\sqrt{1+f'(x)^2}dx}{\int_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}dx}, \quad y_G=\frac{\int_a^bf(x)\sqrt{1+f'(x)^2}dx}{\int_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}dx}.$

Esercizi¶

Inventa una successione di tre valori aventi per media $\mu=5$ e ripeti i calcoli del paragrafo 3 per verificare che $\sigma$ è un indice della dispersione vantaggioso rispetto alla media dei valori assoluti degli scarti.