I solidi di rotazione¶

L’integrale e il volume¶

Immaginiamo un solido qualsiasi, compreso fra due piani paralleli $x=a$ e $x=b$ , del quale conosciamo l’area della sezione perpendicolare $S(x)$ , per ogni punto $x, \ (a\le x\le b)$ .

Conoscendo la sezione, il ragionamento non è difficile: basta immaginare di tagliare il solido con due piani paralleli a distanza infinitesima $dx$ , così da individuare due superfici, di area $S(x)$ e $S(x+dx)$ , infinitamente vicine e per questo indistinguibili, che formano le basi di un cilindro di altezza $dx$ . La formula che si ottiene è in generale:

$V=\int_a^bS(x)dx$

Vi sono solidi, ed è di questi che principalmente ci occupiamo, che possono essere generati dalla rotazione di una superficie attorno ad un asse qualsiasi. Per esempio si può ruotare il trapezoide di una funzione positiva attorno all’asse delle ascisse. In questo caso la sezione in $x$ individua un cerchio di raggio $f(x)$ e quindi la sua area è $\pi f(x)^2$ .

In questo caso la formula del volume diventa:

$V=\pi \int_a^b f(x)^2dx$

Per esempio, la formula usuale del volume di un cono si può ricavare pensando al solido generato dalla rotazione di un triangolo rettangolo attorno alla sua altezza $h$ , coincidente con l’asse $x$ , in modo che il cateto di base spazzi un cerchio di raggio $r$ .

Allora l’ipotenusa coincide con la retta $y=\frac{r}{h}x$ nell’intervallo $[0,h]$ . Il volume vale:

$V=\pi\int_0^h\left(\frac{r}{h}x \right)^2 dx=\pi\int_0^h\frac{r^2}{h^2}x^2dx= \frac{\pi r^2}{h^2}\left[\frac{x^3}{3} \right]_0^h= \frac{\pi r^2}{h^2}\frac{x^3}{3}=\frac{1}{3}\pi r^2 h.$

I volumi simmetrici¶

A volte i calcoli risultano più semplici prendendo in esame la simmetria della funzione che genera il trapezoide. Per esempio se una funzione è pari, allora

$\int_{-r}^rf(x)dx=2\int_0^rf(x)dx.$

È questo il caso dell’Esercizio 1, per esempio.

Invece, se la funzione è dispari, il volume generato dal suo trapezoidesu un intervallo simmetrico è nullo.

$\int_{-r}^rf(x)dx=0$

Questi due risultati intuitivi si possono dimostrare, spezzando l’integrale in due:

$\int_{-r}^rf(x)dx=\int_{-r}^0f(x)dx+\int_0^rf(x)dx.$

e sostituendo $x$ con $-t$ nel secondo integrale.

Se la funzione è pari, abbiamo:

$\int_{-r}^0f(x)dx=-\int_{r}^0f(-t)dt=+\int_0^rf(-t)dt=+\int_0^rf(t)dt=\int_0^rf(x)dx.$

perché nelle funzioni pari $f(-t)=f(t)$ . Quindi:

$\int_{-r}^rf(x)dx=\int_0^rf(x)dx+\int_0^rf(x)dx=2\int_0^rf(x)dx.$

Invece, nelle funzioni dispari $f(-t)=-f(t)$ , per cui:

$\int_{-r}^0f(x)dx=\int_0^rf(-t)dt=-\int_0^rf(t)dt=-\int_0^rf(x)dx.$

e quindi:

$\int_{-r}^rf(x)dx=-\int_0^rf(x)dx+\int_0^rf(x)dx=0.$

Il primo teorema di Guldin¶

C’è una proprietà notevole che lega il baricentro di un trapezoide al volume che esso genera ruotando intorno all’asse delle ascisse.

Se si prende una porzione infinitesima del trapezoide, di area $\sigma$ , collocata ad altezza $y$ rispetto all’asse orizzontale, e la si fa ruotare attorno a questo, si genera un anello il cui volume è indistinguibile da $2\pi y \sigma$ . Infatti $2\pi y$ è la lunghezza (rettificata) del suo percorso nella rotazione. L’ordinata y determina il valore del risultato, sicchè porzioni di superficie vicine all’asse $x$ e porzioni lontane generano anelli molto diversi. Per avere il calcolo esatto del volume generato dalla rotazione di tutta la superficie occorrerebbe tener conto di tutti i diversi anelli. Il teorema di Guldin afferma che è sufficiente tener conto della rotazione del baricentro del trapezoide:

Il volume del solido di rotazione si ottiene moltiplicando l’area del trapezoide per il percorso del suo baricentro.

In formula, considerando $f$ una funzione continua e positiva, definita sull’intervallo $[a,b]$ :

$V=SL,$

dove $S$ è la superficie del trapezoide:

$S=\int_a^bf(x)dx$

e L è la circonferenza tracciata dal baricentro nella rotazione:

$L=2\pi y_G=2\pi\frac{\int_a^bf(x)^2dx}{2\int_a^bf(x)dx}= \frac{\pi\int_a^bf(x)^2dx}{\int_a^bf(x)dx}.$

Al numeratore si esprime il volume $V$ del solido, mentre al denominatore si esprime l’area $S$ del trapezoide.

Il teorema di Guldin può essere usato anche in relazione a solidi generati dalla rotazione di superfici diverse dai trapezoidi. Prendiamo ad esempio la regione di piano compresa fra i grafici di due funzioni $f$ e $g$ , entrambe definite su un intervallo $[a,b]$ , in cui, per ogni $x$ , $f(x)<g(x)$ .

Il volume del solido di rotazione, in questo caso, è la differenza dei volumi generati dalla rotazione dei due trapezoidi, cioè:

$V=\pi\int_a^bg(x)^2dx-\pi\int_a^bf(x)^2dx=\pi\int_a^b\left[g(x)^2-f(x)^2\right]dx.$

Si usa lo stesso metodo per l’area $S$ della superficie: possiamo pensarla come integrale delle strisce indistinguibili dai rettangoli di larghezza infinitesima $dx$ e di altezza $g(x)-f(x)$ :

$S=\int_a^b[g(x)-f(x)]dx$

Il baricentro di ogni striscia si trova nel punto medio, di ordinata: $\frac{f(x)+g(x)}{2}$ e la massa della striscia è $dm=\sigma[g(x)-f(x)]$ , con $\sigma$ densità superficiale. L’ordinata del baricentro è allora la media pesata delle ordinate dei baricentri delle strisce:

$y_G=\frac{\int_a^b\frac{f(x)+g(x)}{2}\sigma[g(x)-f(x)]dx}{\int_a^b\sigma[g(x)-f(x)]dx}= \frac{\frac{\sigma}{2}\int_a^b[g(x)^2-f(x)^2]dx}{\sigma\int_a^b[g(x)-f(x)]dx}= \frac{\int_a^b[g(x)^2-f(x)^2]dx}{2\int_a^b[g(x)-f(x)]dx}.$

Il percorso che il baricentro compie nella rotazione, allora sarà:

$L=2\pi y_G=\frac{\pi\int_a^b[g(x)^2-f(x)^2]dx}{\int_a^b[g(x)-f(x)]dx}=\frac{V}{S}.$

Applicazioni¶

Il baricentro di un semicerchio¶

Sfruttiamo il teorema di Guldin per cercare il risultato già trovato nel capitolo precedente. Pensiamo alla sfera generata dalla rotazione di un semicerchio. Il suo volume è $V=\frac{4}{3}\pi r^3$ . La superficie che ruota ha area $S=\frac{\pi}{2}r^2$ , quindi il percorso del baricentro è

$L=2\pi y_G=2\pi\frac{\frac{4}{3}\pi r^3}{\frac{\pi}{2}r^2}=\frac{V}{S}$

e la posizione del baricentro, considerando che $x_G=0$ per questioni di simmetria evidenti, si ricava da:

$2\pi y_G=\frac{8}{3}r\ \to\ y_G=\frac{4}{3\pi}r.$

Esercizio sul primo teorema di Guldin¶

Dimostrare il teorema relativamente alla regione compresa fra i grafici di due funzioni, senza calcolare il baricentro.

Dal disegno vediamo che la regione che ci interessa è $S=S_1-S_2$ , che genera, ruotando, un volume $V=V_1-V_2$ . Il trapezoide di $g$ ha baricentro $G_1$ , quello di $f$ ha baricentro $G_2$ e $G$ è il baricentro della regione che ci interessa. Consideriamo che la regione sia omogenea, cioè con densità costante, e sfruttiamo la proprietà additiva del baricentro, come se la massa di ogni regione fosse concentrata nel suo baricentro. Facendo ricorso alla media pesata, abbiamo:

$&y_{G_1}=\frac{Sy_G+S_2y_{G_2}}{S+S_2}\\ &Sy_G=(S+S_2)y_{G_1}-S_2y_{G_2}=S_1y_{G_1}-S_2y_{G_2}\\ &2\pi Sy_G=S_1 2\pi y_{G_1}-S_2 2\pi y_{G_2}\\ &SL=V_1-V_2=V$

L’ultimo passaggio si ottiene applicando il teorema ai trapezoidi.

Il secondo teorema di Guldin¶

Il secondo teorema riguarda la superficie di rotazione, ottenuta dal movimento di una curva piana, che immaginiamo essere il grafico di una funzione, attorno all’asse $x$ .

La superficie viene pensata come composta da infiniti anelli di spessore infinitesimo, ciascuno ottenuto sezionando la superficie con due piani paralleli distanti $dx$ l’uno dall’altro. L’area di un anello è indistinguibile dall’area di un rettangolo. La base del rettangolo è la circonferenza, cioè $2\pi f(x)$ , e la sua altezza è il tratto infinitesimo $dl$ del grafico, che vale $\sqrt{1+f'(x)^2}dx$ , se la funzione è derivabile (vedi capitolo precedente). L’area della superficie è allora l’integrale di questi rettangoli:

$S=2\pi\int_a^b f(x)\sqrt{1+f'(x)^2}\, dx.$

Proviamo ora a ragionare sul grafico e sul suo baricentro, riferendoci a quanto visto nell’ultimo paragrafo del Cap.8. La lunghezza del grafico è:

$L'=\int_a^b \sqrt{1+f'(x)^2}dx,$

mentre l’ordinata del baricentro del grafico è:

$y_G=\frac{\int_a^b f(x)\sqrt{1+f'(x)^2}\, dx}{\int_a^b \sqrt{1+f'(x)^2}\, dx}.$

Poichè un anello descritto dalla rotazione del baricentro ha lunghezza $L=2\pi y_G$ , vale $S=L'L$ , cioè:

l’area della superficie, ottenuta ruotando una curva piana, si ottiene moltiplicando la lunghezza della curva per la lunghezza del percorso che il baricentro della curva traccia durante la rotazione.

Analogamente al caso dei volumi, possiamo usare il teorema per calcolare l’area di una superficie oppure, avendo già questo risultato per altra via, per calcolare la posizione del baricentro della curva.

Generalizzazione dei due teoremi¶

I teroremi di Guldin valgono anche se la curva piana è chiusa, perché si può pensarla come l’unione dei grafici di due funzioni definite sullo stesso intervallo.

Riferendoci al disegno, abbiamo due baricentri: $G_1$ per la curva superiore, grafico di $g$ , e $G_2$ per la curva inferiore, grafico di $f$ . Se la lunghezza complessiva è $L=L_1+L_2$ , abbiamo che il baricentro dell’intera curva è

$y_G=\frac{L_1y{G_1}+L_2y{G_2}}{L_1+L_2}.$

Da qui si ricava che $Ly_G=L_1y{G_1}+L_2y{G_2}$ e , moltiplicando per il percorso tracciato durante la rotazione, si ottiene:

$L(2\pi y_G)=L_1(2\pi y{G_1})+L_2(2\pi y{G_2}).$

In pratica significa che l’area della superficie complessiva è data della somma $S=S_1+S_2$ . Sembra un risultato elementare, se non si considera che le aree sono calcolate ruotando i baricentri.

In realtà non è necessario che il baricentro compia una rotazione completa e nemmeno che si muova lungo un arco di circonferenza. Anche se Guldin non l’aveva previsto, i suoi teoremi valgono per qualsiasi movimento che il trapezoide, la regione piana, il grafico o la curva compiono perpendicolarmente al piano su cui si trovano.

Esercizio¶

Calcola la superficie generata dalla rotazione di $y=\sin x$ , definita in $[0,\pi]$ .

L’integrale che esprime la superficie è:

$2\pi\int_0^\pi \sin x\sqrt{1+\cos^2 x}\, dx.$

L’integrale, calcolato al computer con Derive, dà $14,42359944$ Risolvendo a mano, poniamo $t=\cos x$ , per cui

$&2\pi\int_0^\pi \sin x\sqrt{1+\cos^2 x}\, dx= -2\pi\int_1^{-1}\sqrt{1+t^2}\, dt=2\pi\int_{-1}^1\sqrt{1+t^2}\, dt=\\ &=2\pi\cdot 2\int_0^1\sqrt{1+t^2}\, dt= 2\pi\left[t\sqrt{1+t^2}+\ln\left(\sqrt{1+t^2}+t \right) \right]_0^1 = 2\pi\left[\sqrt{2}+\ln(\sqrt{2}+1) \right].$

Con una calcolatrice si può verificare che il risultato corrisponde.

Invece, per quanto riguarda la lunghezza dell’arco, che si ottiene integrando

$\int_0^\pi \sqrt{1+\cos^2 x}\, dx$

dobbiamo affrontare un integrale estremamente difficile. Il risultato, che si ottiene con metodi approssimati, è $3,82019779$ .

Riassunto¶

Il volume di un solido si può ottenere immaginando di dividerlo trasversalmente con piani paralleli distanti l’uno dall’altro un infinitesimo, rilevando l’area della sezione $S(x)$ su ogni piano e integrando su tutto l’intervallo definito dal primo e ultimo piano che limitano il solido:

$V=\int_a^bS(x)dx$
Se nel piano cartesiano abbiamo il grafico di una funzione positiva, definita su un intervallo, chiamiamo trapezoide la regione sottesa. Si ottiene un solido di rotazione ruotando il trapezoide attorno all’asse $x$ . In questo caso il volume si calcola con:

$V=\pi \int_a^b f(x)^2dx$

Il calcolo può essere facilitato, tenendo conto di eventuali simmetrie della funzione.
I teoremi di Guldin semplificano i calcoli del volume e della superficie dei solidi di rotazione, basandosi sul percorso che fa il baricentro durante la rotazione.
Per il volume, il primo teorema di Guldin dice che è:

$&V=SL\\ &S=\int_a^bf(x)dx\\ &L=2\pi y_G=2\pi\frac{\int_a^bf(x)^2dx}{2\int_a^bf(x)dx}= \frac{\pi\int_a^bf(x)^2dx}{\int_a^bf(x)dx}$

con $S$ area della superficie del trapezoide e $L$ lunghezza della circonferenza disegnata dal baricentro $G$ .
Per la superficie, il secondo teorema di Guldin dice che:

$&S=L'L\\ &L'=\int_a^b \sqrt{1+f'(x)^2}dx\\ &L=2\pi y_G=2\pi\frac{\int_a^b f(x)\sqrt{1+f'(x)^2}\, dx}{\int_a^b \sqrt{1+f'(x)^2}\, dx}.$

con $L'$ lunghezza della curva che rappresenta il grafico di $f$ su $[a,b]$ e $L=2\pi y_G$ circonferenza tracciata dal baricentro della curva.
I teoremi di Guldin si applicano anche a regioni del piano racchiuse fra due grafici e ai loro perimetri.
Se il volume del solido, o la sua superficie, sono conosciuti per altra via, i teoremi di Guldin semplificano la ricerca del baricentro.

Esercizi¶

Ricava la formula del volume di una sfera, immaginando la rotazione del trapezoide in grigio nel disegno.
Ricava il volume del solido generato dalla rotazione del trapezoide di $y=\sin x$ nell’intervallo $[0, \pi]$ , e ricava quale parte è il solido rispetto al cilindro tangente.
Ricava il volume del toro rappresentato in figura.
Calcola il baricentro di una semicirconferenza, a partire dall’area della superficie sferica ottenuta dalla rotazione di questa, e confronta il risultato con quello del capitolo precedente.
Calcola l’area della superficie di un toro di raggi $R$ e $r$ .