L’integrale definito¶

Le primitive di una funzione a dominio continuo¶

Supponiamo di conscere i valori di una funzione $f$ , definita su un intervallo $[a,b]$ , che sappiamo essere la derivata di una funzione incognita $F$ , dfinita sempre su $[a,b]$ . Il problema che ci poniamo è se sia possibile risalire ai valori di $F$ , a partire dai vlori della sua derivata $f$ . Da un punto di vista geometrico si tratta di ricostruire il grafico (o uno dei grafici) di una funzione, conoscendone la pendenza in corrispondenza di ogni valore di $x$ . L’analogo cinematico è ricostruire la posizione di un corpo mobile, conoscendone la velocità.

Si tratta di un problema con infinite soluzioni perché la posizione ad ogni istante dipende anche dalla posizione che il mobile aveva inizialmente. Questo, nel caso geometrico, significa che otterremo grafici paralleli diversi in corrispondenza di diversi valori iniziali in ordinata.

Supponiamo che sia $F(a)=c$ . Conoscendo $f(x)$ (a meno di infinitesimi di ordine superiore a $dx$ ) possiamo ricavare $f(x)dx=F'(x)dx\sim dF(x)$ , cioè possiamo ricavare il valore di $F(x+dx)$ conoscendo quello di $F(x)$ . Per ricostruire il valore di $F(x)$ a partire da $c=F(a)$ , dividiamo l’intervallo $[a,x]$ in infiniti intervallini infinitesimi, individuati dai punti $a=t_0<t_1<t_2<...<t_N=x$ con $dt_k=t_{k+1}-t_k\approx 0$ . Ne consegue

$F(x)=c+df(t_0)+dF(t_1)+dF(t_2)+...+dF(t_{N-1})=c+\int_0^{N-1}dF(t_k).$

Ma, dato che $dF(t_k)\sim f(t_k)dt_k$ , si ha $F(x)\sim c+ \int_0^{N-1}f(t_k)dt_k$ .

Seguendo l’analogia cinematica, è come dire che la posizione all’istante $x$ di un punto su una retta si ottiene in base allo spostamento effettuato a partire dalla posizione iniziale. Lo spostamento, poi, è calcolabile con l’integrale degli spostamenti infinitesimi $dF(t_k)$ effettuati in corrispondenza degli intervalli infinitesimi di tempo $dt_k$ . Gli spostamenti infinitesimi sono stati approssimati, in modo indistinguibile, dai prodotti delle velocità iniziali $f(t_k)$ per le corrispondenti durate infinitesime $dt_k$ .

L’interpretazione geometrica è: $F(x)$ è un numero, che fornisce l’ordinata di una funzione definita su un intervallo $[a,b]$ , della quale conosciamo l’ordinata iniziale $c$ e la pendenza $f$ in ogni punto. $F(x)$ si ottiene sommando a $c$ gli infiniti incrementi infinitesimi $dF(t_k)\sim f(t_k)dt_k$ che $F$ realizza negli infiniti intervalli infinitesimi che suddividono $[a,x]$ .

L’integrale e l’area¶

Siamo arrivati al punto che i valori di una primitiva si ottengono tramite il calcolo di

$\int_0^{N-1}f(x_k)dx_k$

dove $f$ è definita su un certo intervallo $[a,b]$ , che viene suddiviso in infinite porzioni infinitesime $dx_k=x_{k+1}-x_k$ segnate dai punti $a=x_0<x_1<x_2<...<x_N=b$ .

Quale è il significato geometrico di tale integrale ed è un signifato valido generalmente oppure dipende dalla suddivisione che abbiamo operato nell’intervallo?

Consideriamo il grafico della funzione $f(x_k)$ . Il prodotto $f(x_k)dx_k$ corrisponde all’area del rettangolo di base infinitesima $dx_k$ (corrisponde all’ampiezza dell’intervallo $[x_k,x_{k+1}]$ ) e altezza pari all’ordinata $f(x_k)$ (cioè il segmento verticale da $(x_k,0)$ a $(x_k, f(x_k))$ . Tale ordinata può anche essere negativa e quindi il rettangolo può svilupparsi, infinitamente sottile, sopra o sotto l’asse $x$ . Se la funzione è continua, allora l’integrale

$\int_0^{N-1}f(x_k)dx_k$

è indistinguibile dall’area della regione di piano compresa tra il grafico della funzione, l’asse delle ascisse e le rette vericali $x=a$ e $x=b$ . L’area è presa con il segno positivo nel semipiano superiore e negativo nel semipiano inferiore.

La parte standard dell’integrale non dipende dalla particolare scelta dei punti di suddivisione $x_k$ , nè dal loro numero ipernaturale infinito $N$ , ma solo dalla funzione e dagli estremi dell’intervallo.

Possiamo quindi tralasciare i dettagli, scrivere

$\int_a^bf(x)dx$

e chiamarlo integrale definito della funzione $f$ nell’intervallo $[a,b]$ .

Primi esempi¶

La funzione è una retta¶

Il primo esempio è volutamente molto semplice e ha soluzione immediata. Ma ci serve per verificare tutti i punti della trattazione precedente. Calcoliamo

$\int_a^b x dx$

Il risultato sarà il numero che si ottiene dividendo l’intervallo $[a,b]$ in infinite parti infinitesime, mediante i punti $a=x_0<x_1<x_2 ... <x_N=b$ , e prendendo la parte standard dell’integrale $\int_0^{N-1}x_kdx_k$ . Possiamo anticipare il risultato del calcolo osservando la figura: si tratta di un trapezio di basi $a$ e $b$ e altezza $b-a$ , quindi di area $\frac{(a+b)(b-a)}{2}=\frac{b^2-a^2}{2}$ . Ma applichiamo il procedimento esattamente come lo abbiamo descritto, in due modi diversi.

Suddivisione in progressione aritmetica¶

Dividiamo $[a,b]$ nel modo più semplice, cioè in infiniti intervalli di uguale ampiezza $\frac{b-a}{N}$ . I punti di suddivisione sono $x_0=a, x_1=a+\frac{b-a}{N}, x_2=a+2\frac{b-a}{N}, ... , x_k=a+k\frac{b-a}{N}, ... ,\\ x_N=a+N\frac{b-a}{N}=b$ . L’ampiezza è costante $dx_k=dx=\frac{b-a}{N}$ per $k=0,1,..., N-1$ . Applichiamo la definizione di integrale:

$\int_a^b x dx\sim &\int_0^{N-1}x_kdx_k=\int_0^{N-1}\left(a+k\frac{b-a}{N}\right)\frac{b-a}{N}=\\ &=\int_0^{N-1}\left(\frac{ab-a^2}{N}+k\frac{(b-a)^2}{N^2}\right)=ab-a^2+\frac{(b-a)^2}{N^2}\sum_0^{N-1}k=\\ &=ab-a^2+\frac{b^2-2ab+a^2}{N^2}\cdot \frac{N(N-1)}{2}\sim ab-a^2+\frac{b^2-2ab+a^2}{2}=\\ &=\frac{2ab-2a^2+b^2-2ab+a^2}{2}=\frac{b^2-a^2}{2}.$

Suddivisione in progressione geometrica¶

Ora ricalcoliamo l’integrale con una suddivisione diversa, segnata dai punti $x_0~=~a,\ x_1~=~aq,\ x_2=aq^2, ...\ , x_N=aq^N=b$ . Ricaviamo da quest’ultima che $q=\left(\frac{b}{a}\right)^\frac{1}{N}\sim 1$ , per cui $dx_k=d(aq^k)=adq^k=aq^k(q-1)$ quindi

$\int_a^b x dx\sim &\int_0^{N-1}x_kdx_k=\int_0^{N-1}aq^k\cdot aq^k(q-1)=a^2(q-1)\sum_0^{N-1}q^{2k}=\\ &=a^2(q-1)\sum_0^{N-1}(q^2)^k=a^2(q-1)\left[\frac{q^{2k}}{q^2-1}\right]_0^N=a^2(q-1)\frac{q^{2N}-1}{q^2-1}=\\ &=a^2(q-1)\frac{\left(\frac{b}{a}\right)^2-1}{(q-1)(q+1)}=a^2\frac{\frac{b^2-a^2}{a^2}}{q+1} =\frac{b^2-a^2}{q+1}\sim\frac{b^2-a^2}{2}.$

Con questo doppio calcolo abbiamo dimostrato che il risultato non dipende dal tipo di suddivisione adottata. Inoltre si vede bene che anche l’esercizio più semplice non è di svolgimento immediato.

La funzione è una parabola¶

Calcoliamo l’integrale definito di

$\int_a^bx^2dx$

Per semplicità, i microscopi nel disegno sono sottintesi. Come nel caso precedente, cerchiamo il risultato con due suddivisioni diverse.

Suddivisione in progressione aritmetica¶

$\int_a^bx^2dx& \sim \int_0^{N-1}x^2_kdx_k = \\ &=\int_0^{N-1}\left(a+k\frac{b-a}{N}\right)^2\frac{b-a}{N}=\\ &=\int_0^{N-1}\left(a^2+2ka\frac{b-a}{N}+k^2\frac{(b-a)^2}{N^2}\right)\frac{b-a}{N}=\\ &=\int_0^{N-1}\left(\frac{a^2(b-a)}{N}+2ka\frac{(b-a)^2}{N^2}+k^2\frac{(b-a)^3}{N^3}\right)=\\ &=a^2(b-a)+2a\frac{(b-a)^2}{N^2}\sum_0^{N-1}k+\frac{(b-a)^3}{N^3}\sum_0^{N-1}k^2=\\ &=a^2b-a^3+\frac{2ab^2-4a^2b+2a^3}{N^2}\cdot\frac{N(N-1)}{2}+ \frac{b^3-3ab^2+3a^2b-a^3}{N^3}\cdot\frac{N(N-1)(2N-1)}{6} \sim \\ &\sim a^2b-a^3+\frac{2ab^2-4a^2b+2a^3}{2}+\frac{b^3-3ab^2+3a^2b-a^3}{3}=\\ &=a^2b-a^3+ab^2-2a^2b+a^3+\frac{b^3-3ab^2+3a^2b-a^3}{3}=\\ &=ab^2+a^2b+\frac{b^3}{3}-ab^2+a^2b-\frac{b^3}{3}=\ \frac{b^3-a^3}{3}.$

Suddivisione in progressione geometrica¶

$\int_a^bx^2dx& \sim \int_0^{N-1}x^2_kdx_k = \int_0^{N-1}(aq^k)^2aq^k(q-1)= a^3(q-1)\sum_0^{N-1}q^{3k}=\\ &=a^3(q-1)\left[\frac{q^3}{^3-1}\right]_0^{N-1}=a^3(q-1)\frac{q^{3N}-1}{q^3-1}= a^3\frac{\frac{b^3}{a^3}-1}{q^2+q+1}=\frac{b^3-a^3}{q^2+q+1}.$

Poiché $q\sim 1$ , concludiamo che:

$\int_a^bx^2dx= \frac{b^3-a^3}{3}$

Integrale definito di $x^n$ ¶

Sappiamo che (usiamo per brevità il segno di uguaglianza)

$\int_a^b x dx=\frac{b^2-a^2}{2}\mbox{ , }\int_a^bx^2dx= \frac{b^3-a^3}{3}\mbox{ , }\int_a^bx^3dx= \frac{b^4-a^4}{4}$

(quest’ultimo risultato è dato negli esercizi). Per cui potremmo aspettarci:

$\int_a^bx^ndx= \frac{b^{n+1}-a^{n+1}}{n+1}$

Infatti:

$\int_a^bx^ndx &\sim \int_0^{N-1}(x_k)^ndx_k=\int_0^{N-1}(aq^k)^na(q-1)q^k= \\ &=a^{n+1}(q-1)\sum_0^{N-1}q^{(n+1)k}=a^{n+1}(q-1)\left(\frac{q^{(n+1)N}-1}{q^{(n+1}-1}\right)=\\ &=a^{n+1}(q-1)\frac{\left(\frac{b}{a}\right)^{n+1}-1}{(q-1)(1+q+q^2+...+q^n)}= \frac{a^{n+1}\left(\frac{b^{n+1}-a^{n+1}}{a^{n+1}}\right)}{1+q+q^2+...+q^n}=\\ &=\frac{b^{n+1}-a^{n+1}}{1+q+q^2+...+q^n}\sim\frac{b^{n+1}-a^{n+1}}{n+1}.$

Se l’esponente è nullo o negativo¶

La formula dell’integrale definito di funzioni potenza si applica anche in caso di esponente nullo o negativo. Infatti, per $n=0$ si ha (ed è un’uguaglianza esatta perchè si ottiene la lunghezza dell’intervallo):

$\int_a^bdx=\frac{b^1-a^1}{1}=b-a$

Ricaviamo il risultato per i casi $n=-2$ e $n=-3$ applicando la definizione di integrale, mentre lasciamo per esercizio la verifica dei risultati con l’uso della formula generale delle funzioni potenza. Notiamo, in premessa, che se l’esponente è negativo l’intervallo $[a,b]$ non può includere l’origine.

Se $n=-2$ si ha:

$\int_a^bx^{-2}dx&=\int_a^b\frac{dx}{x^2}\sim \int_0^{N-1}\frac{dx_k}{x_k^2}= \int_0^{N-1}\frac{a(q-1)q^k}{(aq^k)^2}=\int_0^{N-1}\frac{(q-1)}{aq^k}= \frac{q-1}{a}\sum_0^{N-1}\left(\frac{1}{q}\right)^k=\\ &=\frac{q-1}{a}\left[\frac{\left(\frac{1}{q}\right)^k}{1-\frac{1}{q}}\right]_0^N= \frac{q-1}{a}\cdot\frac{\left(\frac{1}{q}\right)^N -1}{1-\frac{1}{q}}= \frac{q-1}{a}\cdot \frac{\frac{a}{b}-1}{\frac{q-1}{q}}=q\left(\frac{1}{b}-\frac{1}{a}\right) \sim\frac{1}{b}-\frac{1}{a}.$

Se $n=-3$ si ha:

$\int_a^bx^{-3}dx&=\int_a^b\frac{dx}{x^3}\sim \int_0^{N-1}\frac{dx_k}{x_k^3}= \int_0^{N-1}\frac{a(q-1)q^k}{(aq^k)^3}= \frac{q-1}{a^2}\sum_0^{N-1}\frac{1}{q^{2k}}=\\ &=\frac{q-1}{a^2}\left[\frac{q^{\frac{1}{2N}-1}}{\frac{1}{q^2}-1}\right]= \frac{q-1}{a^2}\frac{\left(\frac{a}{b}\right)^2-1}{\frac{1-q^2}{q^2}}= \frac{q-1}{a^2}\frac{\frac{a^2-b^2}{b^2}}{\frac{(1-q)(1+q)}{q^2}}=\\ &=\frac{b^2-a^2}{a^2b^2}\frac{q^2}{1+q}\sim\frac{b^2-a^2}{2a^2b^2}= \frac{1}{2}\left(\frac{1}{a^2}-\frac{1}{b^2}\right).$

Integrale definito di $\frac{1}{x}$ ¶

Se l’esponente della funzione potenza è $n=-1$ abbiamo un problema: basta applicare la regola generale per rendersene conto. Cerchiamo quindi l’integrale definito attraverso la definizione.

$\int_0^b\frac{dx}{x}\sim\int_0^{N-1}\frac{dx_k}{x_k}=\int_0^{N-1}\frac{a(q-1)q^k}{aq^k}= \sum_0^{N-1}(q-1)=N(q-1)=N\left[\left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{1}{n}}-1\right].$

Il risultato è una forma indeterminata, che deve essere risolvibile perchè anche il disegno ci mostra l’esistenza della parte standard del risultato. Poniamo che questo sia $s$ . Abbiamo allora

$N\left[\left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{1}{n}}-1\right]\sim s\ \to\ \left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{1}{n}}-1\sim\frac{s}{N}\ \to\ &\left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{1}{n}}\sim 1+\frac{s}{N}\ \to\ \frac{b}{a}\sim \left(1+\frac{s}{N}\right)^N\ \sim e^s\\ \frac{b}{a}= e^s\ \to\ &s=\ln\frac{b}{a}\\ \int_a^b\frac{dx}{x}=&\ln\frac{b}{a}$

Aree sottese alle curve $y=x^n$ ¶

Le funzioni $x^n$ , con $n\ge 0$ hanno grafici progressivamente più adagiati sull’asse $x$ , nell’intervallo $[0,1]$ , man mano che cresce l’esponente. Se consideriamo le aree sottese alle diverse curve in quest’intervallo possiamo notare come esse siano sempre più piccole al crescere dell’esponente. Per $n=0$ l’area è quella di un quadrato di lato $1$ , quindi l’area vale $1$ . Per $n=1$ l’area è quella di metà quadrato, vale quindi $\frac{1}{2}$ . Nel caso generale l’area vale

$\int_0^1x^ndx= \frac{1^{n+1}-0^{n+1}}{n+1}=\frac{1}{n+1}$

Area sottesa all’iperbole equilatera¶

Nel caso della funzione $y=\frac{1}{x}$ , l’area compresa fra il grafico, l’asse orizzontale e la retta $x=1$ e $x=c$ , con $c>1$ , è

$\int_1^c\frac{dx}{x}=\ln c$

Il fatto che il logaritmo naturale sia così legato all’iperbole equilatera è da considerare importante e sarà approfondito più avanti.

Integrale definito di $\sin x$ ¶

Per questo calcolo suddividiamo $[a,b]$ con punti in progressione aritmetica e inizalmente scegliamo $a=0,b>0$ . Gli $N$ intervalli infinitesimi sono contrasseganti dai punti $x_0=0,\ x1=h,\ x_2=2h,\ ...,\ k_k=kh,\ ...,\ x_N=Nh=b$ , con $h=\frac{b}{N}=dx_k$ . Possiamo scrivere:

$\int_0^b \sin xdx\sim \int_0^{N-1}\sin x_k dx_k=\int_0^{N-1}\sin(kh)h=h\sum_0^{N-1}\sin(kh).$

Il calcolo dell’ultima somma, che chiamiamo

$S=\sum_0^{N-1}\sin(kh)=\sin h+\sin 2h+... +\sin(N-1)h$

si esegue moltiplicato per $2\sin\frac{h}{2}$ e poi ricorrendo alla formula di Werner $2\sin\alpha\sin\beta=cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)$

$2S\sin\frac{h}{2}&=2\sin h \frac{h}{2}+2\sin 2h \frac{h}{2}+2\sin 3h \frac{h}{2}+... + 2\sin (N-1)h \frac{h}{2}=\\ &=\left(\cos\frac{h}{2}-\cos\frac{3}{2}h\right)+ \left(\cos\frac{3}{2}h-\cos\frac{5}{2}h \right)+... \left(\cos\frac{2N-3}{2}h-\cos\frac{2N-1}{2}h \right)=\\ &=\cos\frac{h}{2}-\cos\frac{2N-1}{2}h.$

In sintesi:

$2S\sin\frac{h}{2}=\cos\frac{h}{2}-\cos\frac{2N-1}{2}h\ \to\ S=\frac{\cos\frac{h}{2}-\cos\frac{2N-1}{2}h}{2\sin\frac{h}{2}} \sim\frac{1-\cos b}{h}$

perché

$&\cos\frac{h}{2} =\cos\frac{b}{2N}\sim\cos0=1 \\ &\cos\frac{2N-1}{2}h =\cos\left(\frac{2N-1}{2}\cdot\frac{b}{N}\right)\sim \cos b \\ &2\sin\frac{h}{2} \sim 2 \frac{h}{2}=h$

Concludiamo che

$\int_0^b \sin xdx\sim hS=1-\cos b.$

Il caso in cui $0<a<b$ si deduce dal caso precedente pensando al significato geometrico dell’integrale definito:

$\int_a^b \sin xdx=\int_0^b \sin xdx -\int_0^a \sin xdx=(1-\cos b)-(1-\cos a)=\cos a -\cos b.$

Se poi $a<0$ , il risultato non cambia perché il seno è una funzione periodica. Infatti basta prendere un intero $k$ abbastanza grande per cui $a+2k\pi>0$ e il risultato sarà:

$\int_a^b \sin xdx=\int_{a+2k\pi}^{b+2k\pi} \sin xdx=\cos(a+2k\pi)- \cos(b+2k\pi)=\cos a - \cos b.$

Proprietà dell’integrale definito¶

Dalle proprietà delle somme deriviamo direttamente le proprietà dell’integrale definito:

$&\int_a^bcdx=c(b-a)\\ &\int_a^b[cf(x)]dx=c\int_a^bf(x)dx\\ &\int_a^b[f(x)\pm g(x)]dx=\int_a^bf(x)dx\pm\int_a^bg(x)dx\\ &\mbox{se }f(x)\le g(x)\mbox{ allora }\int_a^bf(x)dx\le\int_a^bg(x)dx\\ &\left|\int_a^bf(x)dx\right|\le\int_a^b|f(x)|dx$

Un esempio¶

Con queste proprietà possiamo calcolare, per esempio l’integrale definito di funzioni polinomiali, come nel caso semplice seguente: $\int_1^2[6x^2-8x+3]dx$ .

$&\int_1^2[6x^2-8x+3]dx= \int_1^2 6x^2dx-\int_1^2 8xdx+\int_1^2 3dx= 6\int_1^2 x^2dx-8\int_1^2 xdx+3(2-1)=\\ &=6\frac{2^3-1^3}{3}-8\frac{2^2-1^2}{2}+3=14-12+3=5$

Sull’integrale definito vi sono due altri dettagli importanti da approfondire

Il segno dell’integrale¶

Le somme, e quindi l’integrale, e quindi le primitive, hanno senso per $x>a$ . Se $x<a$ dovremmo integrare per così dire ‘a ritroso’, cioè da destra verso sinistra, togliendo strisce di area infinitesima a partire dal valore F(a) che in questo caso rappresenterebbe il risultato finale. Infatti:

$F(a)=F(x)+\int_x^af(t)dt\ \to \ F(x)=F(a)-\int_x^af(t)dt$

Infatti, l’integrazione a partire dall’estremo superiore significa utilizzare intervalli infinitesimi di $[a,b]$ per i quali il secondo estremo è a sinistra del primo, quindi le differenze $dx_k$ hanno segno negativo, il che rende negative le aree dei rettangoli, come se fossero situati al di sotto dell’asse $x$ . Insomma, le aree di cui stiamo trattando non sono le aree sempre positive delle figure geometriche tradizionali. Sono aree orientate, il cui segno dipende sia dal segno di f in quegli intervalli, sia dal verso di percorrenza dell’asse orizzontale.

In conclusione è più semplice non cambiare la regola. Quindi la conserviamo, con queste precisazioni:

$\int_a^af(x)dx= 0\ \mbox{ e }\ \int_a^bf(x)dx=-\int_b^af(x)dx\ \mbox{ con }a<b.$

La somma di integrali¶

Una volta chiarita la situazione in cui l’integrale è nullo, possiamo utilizzarla come elemento neutro della somma e quindi trarre la relazione

$\int_a^bf(x)dx+\int_b^cf(x)dx=\int_a^cf(x)dx$

con $a,b,c$ qualsiasi. La regola vale in ogni caso: per $a<b<c$ e per $c<b<a$ abbiamo già detto. Immaginiamo un terzo caso: $a<c<b$ . Allora

$\int_a^cf(x)dx+\int_c^bf(x)dx=\int_a^bf(x)dx\ \to \ \int_a^bf(x)dx-\int_c^bf(x)dx=\int_a^cf(x)dx$

perché $-\int_c^bf(x)dx=\int_b^cf(x)dx$ .

Risalire alla primitiva¶

Dopo i primi calcoli, torniamo a concentrarci sul problema della ricerca della primitiva. Sappiamo che se $f$ è continua ed è la derivata di $F$ in $[a,b]$ , allora

$F(x)\sim F(a)+\int_0^{N-1}f(t_k)dt_k,$

con $a=t_0<t_1<t_2<...<t_N=b$ e $dt_k=t_{k+1}-t_k\approx 0$ . Fissato tutto questo, possiamo scrivere

$F(x)=F(a)+\int_a^xf(t)dt.$

La continuità di $f$ e la derivabilità di $F$ ci consentono di esprimere tutto questo. Il fatto importante è che una funzione continua può sempre essere pensata come derivata di un’altra funzione. Come nel caso discreto chiameremo primitiva della funzione continua $f$ , definita in un intervallo, ogni funzione $F$ definita sullo stesso intervallo e avente f come tasso di variazione, cioè come derivata. Esprimiamo tutto questo in termini più matematici:

sia I un intervallo di numeri reali e sia $f:I\to R$ una funzione continua, allora una qualsiasi funzione $F:I\to R$ è una primitiva per f se $F'(x)=f(x), \forall x \in I$ .

Abbiamo già ricavato l’espressione di F: $F(x)=F(a)+\int_a^xf(t)dt$ . Ora dobbiamo dimostrare questa espressione ci garantisce che $F'(x)=f(x)$ .

Chiamiamo $S=\int_a^xf(t)dt$ l’integrale che associa al numero $x\in I$ l’area della regione compresa fra il grafico di f, l’asse delle ascisse e le rette verticali $x=a,\ x=b$ (l’area è negativa nel semipiano inferiore). Allora $dS(x)$ è l’area orientata della striscia di base dx, indistinguibile dal rettangolo di area f(x)dx: $dS(x)\sim f(x)dx\ \to \ \frac{dS(x)}{dx}\sim f(x)\ \to \ S'(x)= f(x)$ . Poiché abbiamo definito $F(x)=c+S(x)$ , è facile constatare che F’(x)=S’(x)=f(x).

Quindi ogni funzione continua, definita su un intervallo, si può pensare come derivata di infinite altre funzioni che differiscono fra loro solo per la scelta della costante c. Questa rappresenta il valore della primitiva in a. $F(a)$ è un valore iniziale, sul quale si accumula la somma infinita. Cambiare $F(a)$ non influisce sul risultato della somma infinita, ma solo sul risultato finale.

Quindi le primitive della stessa funzione sono infinite e i loro valori differiscono per una costante. I loro grafici sono curve che si sviluppano parallelamente nel piano cartesiano, a distanze diverse dall’asse $x$ .

Un esempio¶

Cerchiamo tutte le primitive di $f(x)=x^2$ su R. Applichiamo la formula con $a=0$

$F(x)=\int_0^xt^2dt=c+\frac{x^3-0^3}{3}=c+\frac{x^3}{3}.$

È facile verificare che $D\left[c+\frac{x^3}{3}\right]=\frac{1}{3}(3x^2)=x^2$ .

Proviamo ora con a diverso. per esempio se $a=1$

$F(x)=\int_1^xt^2dt=c+\frac{x^3-1^3}{3}=c+\frac{x^3}{3}-\frac{1}{3}`.$

Al variare di $c-\frac{1}{3}$ si trovano tutti i possibili valori che si troverebbero variando il solo $c$ , quindi le due soluzioni si equivalgono. La scelta di uno specifico valore $c$ ha senso solo quando viene richiesta una specifica primitiva. In questo caso si fa riferimento al fatto che $F(a)=c$ (vedi per esempio l’esercizio 8).

Il Teorema fondamentale¶

Finora abbiamo integrato solo poche funzioni semplici e ricavato solo le regole di tre integrali notevoli: delle funzioni potenza, dell’iperbole equilatera e della funzione seno. Grazie alle proprietà, possiamo svolgere esercizi che prevedono varie combinazioni di queste funzioni, ma non possediamo un criterio generale per integrare qualsiasi funzione. Anzi è giustificato il timore che l’integrazione di una funzione diversa, per esempio una banale radice cubica, comporti la complicata ricerca di una suddivisione opportuna di $[a,b]$ e una difficile applicazione delle somme infinite. Come si è già visto nel caso discreto, la conclusione è che non conviene calcolare gli integrali per ottenere le primitive. Anzi, al contrario, conviene servirsi delle primitive per calcolare gli integrali.

Partiamo dalla formula $F(x)=F(a)+\int_a^xf(t)dt$ e poniamo $x=b$ , usando x come variabile di integrazione. Allora

$\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)$

Si tratta del cosiddetto Teorema fondamentale del calcolo integrale, che indica che un integrale definito si può calcolare semplicemente con la differenza fra i valori della primitiva calcolati agli estremi di integrazione.

Il significato del Teorema fondamentale¶

Il significato geometrico del Teorema fondamentale è semplice: l’incremento complessivo $F(a)-F(b)$ di una funzione $F$ , primitiva di $f$ , nell’intervallo $[a,b]$ , è l’integrale $\int_a^bf(x)dx$ degli incrementi infinitesimi che $f$ subisce negli infiniti intervallini infinitesimi in cui $[a,b]$ è stato suddiviso. Questi incrementi infinitesimi si ottengono, in ogni intervallo, dal prodotto fra la pendenza iniziale di $f$ e la lunghezza infinitesima dell’intervallino.

C’è un corrispondente significato cinematico, supponendo che $F$ rappresenti la legge oraria del moto e $f$ sia la velocità: lo spostamento complessivo $F(b)-F(a)$ dall’istante $a$ all’istante $b$ è l’integrale $\int_a^bf(t)dt$ degli spostamenti infinitesimi che il punto mobile ha compiuto negli infiniti intervalli infinitesimi in cui è stata suddivisa la durata.

Dalle derivate alle primitive¶

Resta il problema di come ottenere le primitive senza integrare. C’e una strada spesso non difficile, ricordando che $D[F(x)]=f(x)$ . Per esempio...

Esempi guida¶

1- Calcola $\int_a^b\sin x$ .

Ricordando che $D\cos x=-\sin x$ , si può immaginare che $D(-\cos x)=\sin x$ e quindi in questo caso $F(x)=-\cos x +c$ . Dal Teorema fondamentale abbiamo subito la soluzione:

$\int_a^b\sin x=F(b)-F(a)=-\cos b -(-\cos a)= \cos a -\cos b$

nello scrivere la soluzione abbiamo posto $c=0$ . Anche in caso di scelte diverse, comunque, $c$ si sarebbe annullato nella differenza.

Il nuovo metodo è questo: occorre pensare a quale sia la funzione $F$ da derivare per ottenere $f$ . Ricavata questa, si applica il Teorema fondamentale.

2- Calcola: $\int_a^bx^ndx$ .

Ricordando la regola di derivazione $D[x^n]=n x^{n-1}$ , cerchiamo di ottenere $x^n$ dalla derivata: $D[x^{n+1}]=(n+1)x^n \ \to \ \frac{D[x^n]}{(n+1)}=x^n$ .

$\int_a^bx^ndx=F(b)-F(a)=\frac{b^{n+1}}{n+1}-\frac{a^{n+1}}{n+1}=\frac{b^{n+1}-a^{n+1}}{n+1}$

che non vale se $n=-1$ . Infatti...

3- Calcola: $\int_a^b \frac{dx}{x}$ .

Poiché $D\ln x=\frac{1}{x}$ , una primitiva per $\frac{1}{x}$ è $F(x)=\ln x$ .

$\int_a^b \frac{dx}{x}=F(b)-F(a)=\ln b-\ln a=\ln \frac{b}{a}$

Riassunto¶

Una funzione $f(x)$ a dominio continuo in un intervallo $[a,b]$ ha per primitive $F(x)$ se $F(x)\sim c+ \int_0^{N-1}f(t_k)dt_k$ .
Trovare le primitive ha il significato di ricostruire i valori di una funzione conoscendo i valori delle sue derivate.
Se $f(x)$ è continua, l’integrale precedente ha il significato geometrico dell’area sottesa al grafico di $f$ nell’intervallo considerato. Negli intervalli per i quali $f(x)<0$ l’area assume segno negativo. La parte standard dell’integrale non dipende dalla scelta operata su come suddividere l’intervallo $[a,b]$ in parti infinitesime $dt_k$ .
Con queste convenzioni, l’integrale si chiama integrale definito di $f$ fra $a$ e $b$ e si scrive $\int_a^bf(x)dx$ .
Applicando la definizione si dimostrano alcuni risultati importanti (le uguaglianze valgono per le parti standard):

$&\int_a^b x dx=\frac{b^2-a^2}{2}\\ &\int_a^b x^2 dx= \frac{b^3-a^3}{3}\\ &\int_a^b x^n dx= \frac{b^{n+1}-a^{n+1}}{n+1} \mbox{ anche con }n\le 0\mbox{, tranne: } \int_0^b\frac{dx}{x}=\ln\frac{b}{a}\\ &\int_a^b \sin xdx=\cos a-\cos b\\ &\int_a^b \cos xdx=\sin b - \sin a$

L’integrale definito relativo all’intervallo $[a,b]$ ha senso con $a<b$ . Nei casi $a=b$ e $a>b$ si ricavano le regole seguenti, che dipendono dal verso di percorrenza dell’intervallo sull’asse $x$

$\int_a^af(x)dx= 0\ \mbox{ e }\ \int_a^bf(x)dx=-\int_b^af(x)dx\ \mbox{ con }a<b.$
Vale inoltre la regola per la somma: $\int_a^bf(x)dx+\int_b^cf(x)dx=\int_a^cf(x)dx$ .
Il Teorema fondamentale del calcolo integrale consente di calcolare gli integrali ricorrendo alle primitive:

$\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)$
A questo punto è più conveniente calcolare le primitive senza far uso di integrali. Il metodo per ottenerle è di ragionare all’inverso rispetto all’operazione di derivazione.

Esercizi¶

Dimostra, seguendo gli esempi nel dettaglio, che $\int_a^bx^3dx= \frac{b^4-a^4}{4}$ . Per semplicità, usa la suddivisione in progressione geometrica.
Applica la regola delle funzioni potenza nei seguenti casi: $n=5, n=6, n=7$
Applica la regola delle funzioni potenza nei seguenti casi: $n=-2, n=-3, n= -4$
Quanto vale l’area fra i grafici di due successive funzioni potenza nell’intervallo $[0,1]$ ? Ricava il risultato tramite alcuni esempi, poi formula la regola.
Calcola l’area sottesa all’iperbole equilatera nel caso di $0<c<1$ .
Dimostra che $\int_a^b \cos xdx=\sin b - \sin a$ , seguendo punto per punto il ragionamento usato per dimostrare la formula dell’integrale definito della funzione seno.
Esprimi la regola della somma di integrali definiti con $c<a=b$ .
Cerca, fra le infinite primitive di $f(x)=x^2$ , quella che vale 2 per $x=1$ .
Calcola $\int_a^b \cos xdx$ applicando il Teorema fondamentale.
Se l’intervallo $[a,b]$ è di numeri negativi, vale ancora l’ultimo esempio del capitolo?