Il teorema fondamentale e le sue conseguenze¶

Come abbiamo visto nel capitolo precedente, calcolare le somme è troppo oneroso e quindi rinunciamo a calcolare le primitive attraverso le somme. Se troviamo un altro modo di calcolare le primitive, ci avvarremo di questo nuovo modo per il calcolo delle somme.

Il teorema fondamentale¶

Supponiamo di avere una successione $\langle y_k\rangle_m^n$ e di conoscere le primitive $\langle Y_k\rangle_m^{n+1}$ . Allora la k_esima primitiva è

$Y_k=c+\sum_m^{k-1}y_i=Y_m+\sum_m^{k-1}y_i.$

Quindi, riscrivendo l’ultimo termine $Y_{n+1}$ si ha: $Y_{n+1}=Y_m+\sum_m^n y_k$ , cioè:

$\sum_m^n y_k=Y_{n+1}-Y_m$

Questa è la formulazione del cosiddetto teorema fondamentale del calcolo delle somme: per calcolare la somma di una successione basta sottrarre la primitiva relativa al suo primo termine dalla primitiva relativa al termine successivo rispetto al suo ultimo.

Per comodità di scrittura si usa porre $Y_n-Y_m=\left[Y_k\right]_m^n$ , cioè la differenza si sintetizza con un’espressione fra parentesi quadre e i due indici associati. Per esempio $\left[k^2\right]_3^7=7^2-3^2=40$ . Adeguandoci a questo uso, scriviamo:

$\sum_m^n y_k=\left[Y\right]_m^{n+1}.$

Siamo ora tornati al problema di come calcolare le primitive.

Dalle primitive alle somme¶

Abbiamo individuato nelle primitive la soluzione del problema che ci eravamo posti all’inizio del capitolo precedente: a partire da una successione di differenze, ricostruire quale successione ne poteva essere l’origine. I vari ragionamenti ci hanno portato a cercare le primitive calcolando le somme, un calcolo che però si è rivelato difficile. Siamo quindi al punto di dover calcolare le primitive per altra via.

Successione di potenze¶

Ragioniamo usando le espressioni conosciute delle differenze. Per esempio sappiamo che $\Delta q^k=(q-1)q^k$ . Quindi se la differenza $\Delta q^k$ ha questo risultato, vuol dire che $q^k$ è primitiva di $(q-1)q^k$ . Di per sè non è un’informazione molto richiesta, nel senso che la successione $\langle(q-1)q^k\rangle$ non è particolarmente interessante, però ci è utile il ragionamento. Dividendo per $(q-1)$ si ha:

$\Delta\left[\frac{q^k}{q-1}\right]=\frac{1}{q-1}(q-1)q^k=q^k.$

Se la differenza a sinistra è uguale a $q^k$ , allora una generica primitiva di $q^k$ è $\frac{q^k}{q+1}+c$ .

Nel capitolo precedente (Par.2.6.1) ci siamo trovati a dover calcolare $\sum_0^nq^k$ e ce la siamo cavata con qualche artificio algebrico. Ora possiamo farlo usando il teorema fondamentale:

$\sum_0^nq^k=\left[\frac{q^k}{q-1}\right]_0^{n+1}=\frac{q^{n+1}}{q-1}-\frac{q^0}{q-1}=\frac{q^{n+1}-1}{q-1}.$

che è il risultato già trovato, ma questa volta in modo molto più rapido.

Fattoriali decrescenti e somma di n numeri¶

Abbiamo già visto che $\Delta k^{(m)}=mk^{(m-1)}$ . Da questo sappiamo che $mk^{(m-1)}$ ha per primitiva $Y_k=c+k^{(m)}$ . Ancora una volta abbiamo la primitiva di una funzione poco interessante. Allora modifichiamo leggermente la primitiva e calcoliamo la differenza:

$\Delta \left[c+\frac{k^{(m+1)}}{m+1}\right]= \frac{1}{m+1}(m+1)k^{(m)}=k^{(m)}.$

In questo modo riconosciamo che la primitiva generica di $k^{(m)}$ è $\frac{k^{(m+1)}}{m+1}+c$ .

Il risultato è utile per esempio per calcolare la somma di n naturali $\sum_1^nk$ . Dato che $k=k^{(1)}$ , una sua primitiva è $\frac{k^{(2)}}{2}$ . Usiamo allora il teorema fondamentale:

$\sum_1^nk=\left[\frac{k^{(2)}}{2}\right]_1^{n+1}=\frac{(n+1)^{(2)}}{2}-\frac{1^{(2)}}{2}=\frac{n(n+1)}{2}.$

Ed è un modo ulteriore per ricavare questo risultato, che conoscevamo già.

Regole di calcolo¶

Direttamente dalle proprietà (di linearità) delle somme, possiamo ricavare:

Le primitive della somma di due successioni sono le somme delle primitive delle due successioni.

Infatti se $\langle S_k\rangle_m^n$ è la primitiva di $\langle s_k\rangle_m^n=\langle y_k\rangle_m^n+\langle z_k\rangle_m^n$ , allora deve essere:

$S_k=c+\sum_m^{k-1}[y_i+z_i]=\left(c_1+\sum_m^{k-1}y_i\right)+\left(c_2+\sum_m^{k-1}z_i\right)=Y_k+Z_k,$

in cui abbiamo inteso che $c=c_1+c_2$ .

Le primitive del prodotto di una costante per una successione sono i prodotti della costante per le primitive della successione.

Infatti se $\langle Y_k\rangle_m^n=c+\sum_k^{k-1}ay_i$ è la primitiva di $\langle ay_k \rangle_m^n$ , allora deve essere:

$c+\sum_k^{k-1}ay_i=c+a\sum_k^{k-1}y_i= a\left(\frac{c}{a}+\sum_k^{k-1}y_i\right)= a\left(c_1\sum_k^{k-1}y_i\right)=aY_k$

Quale simbolo per la primitiva?¶

Invece del generico simbolo $Y_k$ , per indicare le primitive di una successione si usa il simbolo di somma $\sum$ , in un modo leggermente diverso da quello che si usa per le somme. La ragione di questo duplice uso è che le proprietà delle primitive, come abbiamo visto, sono legate alle proprietà delle somme. Per cui invece di $Y_k$ scriveremo $\sum y_k$ .

Note

$Y_k$ è la successione primitiva della successione $y_k$ , quindi il simbolo $\sum y_k$ indica una successione, non una somma. Per segnalare la diversità rispetto a una vera somma si evita di indicare gli estremi $m,n$ fra i quali varia l’indice $k$ . Non si tratta solo di una notazione diversa, perché la differenza è sostanziale: la somma $\sum_m^ny_k$ è un numero, mentre la primitiva $\sum y_k$ è una successione.

Le proprietà del paragrafo precedente, allora si possono esprimere così:

$1) \sum [y_k \pm z_k]&= \sum y_k \pm \sum z_k\\ 2) \sum ay_k&= a\sum y_k$

E le formule ricavate in precedenza sono:

$\sum q^k&=\frac{q^q}{q-1}+c\\ \sum k^{(m)}&=\frac{k^{(m-1)}}{m+1}+c$

Il teorema fondamentale del calcolo delle somme allora si esprime così:

$\sum_m^n y_k=\left[\sum y_k\right]_m^{n+1}.$

La regola che manca¶

Guardando la regola 1 viene spontaneo estenderla anche al prodotto e al quoziente: insomma sarebbe carino se il prodotto di due successioni avesse per primitiva il prodotto delle due primitive (e così anche il quoziente). Invece questo non vale, infatti:

$\sum_m^n y_kz_k \ne \left(\sum_m^ny_k\right)\left(\sum_m^nz_k\right).$

Limitiamoci ad un esempio con due soli termini, così risulta più evidente:

$y_1 z_1+y_2 z_2 \ne (y_1+y_2)(z_1+z_2)=y_1z_1+y_2z_2+y_1z_2+y_2z_1$

Proprio per questo è così difficile il calcolo delle somme, perché manca una regola semplice sul prodotto. Tuttavia abbiamo una regola che in diversi casi fa fronte alle difficoltà, per esempio ci aiuta nella ricerca della primitiva di $kq^k$ , che altrimenti sarebbe molto difficile.

La somma per parti¶

Partiamo dalla differenza di un prodotto. Come sappiamo: $\Delta[y_kz_k]=\Delta y_kz_{k+1}+y_k\Delta z_k$ . Da questo si ricava che $y_kz_k$ è una primitiva per la differenza, a meno di una costante:

$(*) \sum\left[\Delta y_kz_{k+1}+y_k\Delta z_k\right]=y_kz_k+c$

Applichiamo le proprietà in modo da rendere utile l’uguaglianza

$\sum\Delta y_kz_{k+1}+\sum y_k\Delta z_k=y_kz_k+c\\ \sum y_k\Delta z_k=y_kz_k-\sum\Delta y_kz_{k+1}$

Anche se non è semplice, questa formula è l’unica che abbiamo per cercare la primitiva di un prodotto e funziona bene in un buon numero di casi, anche se non in tutti. La formula si chiama somma indefinita per parti.

Applichiamo il teorema fondamentale alla formula (*) :

$&\sum_m^n\left[\Delta y_kz_{k+1}+y_k\Delta z_k\right]=\left[y_kz_k\right]_m^{n+1} \\ &\sum_m^n\Delta y_kz_{k+1}+\sum_m^n y_k\Delta z_k=\left[y_kz_k\right]_m^{n+1} \\ &\sum_m^n y_k\Delta z_k=\left[y_kz_k\right]_m^{n+1}-\sum_m^n\Delta y_kz_{k+1}$

L’ultima formula è detta somma definita per parti. Possiamo renderla più chiara con un esempio geometrico, in cui $m=0,\ n=4$ .

$\sum_0^4 y_k\Delta z_k=\left[y_kz_k\right]_0^5-\sum_0^4\Delta y_kz_{k+1}$

cioé:

$&y_0\Delta z_0+y_1\Delta z_1+y_2\Delta z_2+y_3\Delta z_3+y_4\Delta z_4=\\ &=(y_5z_5-y_0z_0)-(\Delta y_0z_1+\Delta y_1z_2+\Delta y_2 z_3+\Delta y_3z_4+\Delta y_4 z_5).$

In questa figura abbiamo immaginato che i termini delle successioni siano positivi e le successioni siano crescenti. I termini di $y_k,z_k$ sono allineati lungo gli assi cartesiani. L’area colorata a sinistra è una figura a gradini e vale quanto la prima riga della formula precedente. Nella seconda riga di questa formula, la stessa area è rappresentata come differenza fra l’intera figura, tranne il rettangolino minore con vertice nell’origine, e i vari gradini più chiari.

Esempi di calcolo¶

Somme di n quadrati¶

A partire da questi primi risultati possiamo ottenerne altri. Per esempio ricalcoliamo la somma dei quadrati con la nuova notazione e con il teorema fondamentale. Poiché questo ci porta cercare $\sum k^2$ , che per noi è difficoltoso, possiamo riscrivere $k^2=k^{(2)}+k^{(1)}$ perché $k^{(2)}=k(k-1)=k^2-k$ . Quindi

$\sum k^2=\sum\left[k^{(2)}+k^{(1)}\right]=\sum k^{(2)}+\sum k^{(1)}= \frac{k^{(3)}}{3}+\frac{k^{(2)}}{2}+c.$

ora applichiamo il teorema fondamentale:

$\sum k^2 &=\sum\left[\frac{k^{(3)}}{3}+\frac{k^{(2)}}{2}\right]_1^{n+1}=\frac{(n+1)^{(3)}}{3}+\frac{(n+1)^{(2)}}{2}-\frac{1^{(3)}}{3}-\frac{1^{(2)}}{2}=...=\\ &=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.$

Somme di n cubi¶

Anche in questo caso sfruttiamo i fattoriali decrescenti, dato che conosciamo la regola sulle loro somme: $k^{(3)}=k(k-1)(k-2)=k^3-3k^2+2k$ . D’altra parte $k^2=k^{(2)}+k$ , per cui si ottiene:

$k^3=k^{(3)} +3[k^{(2)}+k]-2k=k^{(3)}+3k^{(2)}+k=k^{(3)}+3k^{(2)}+k^{(1)}.$

Il completamento viene lasciato per esercizio.

I numeri di Stirling¶

Vediamo se è possibile esprimere qualsiasi potenza in termini di fattoriali decrescenti. Finora i risultati sono stati questi:

$k^0 &=1\cdot k^{(0)}\\ k^1 &=1\cdot k^{(0)}+1\cdot k^{(1)}\\ k^2 &=1\cdot k^{(0)}+1\cdot k^{(1)}+1\cdot k^{(2)}\\ k^2 &=1\cdot k^{(0)}+1\cdot k^{(1)}+3\cdot k^{(2)}+1\cdot k^{(3)}$

A parte gli esponenti, i coefficienti sono distribuiti in questo modo:

$&1\\ &0\mbox{ } 1\\ &0\mbox{ } 1\mbox{ } 1\\ &0\mbox{ } 1\mbox{ } 3\mbox{ } 1$

Questa specie di triangolo, che ricorda il Triangolo di Tartaglia, costituisce l’elenco (iniziale) dei numeri di Stirling di seconda specie $S_i^j$ . Servono appunto per indicare i coefficienti dei fattoriali decrescenti con cui esprimere le potenze. Per avere un elenco più completo, si può fare una ricerca in rete. Si troverà per esempio che per $n=5$ si ha $0,\mbox{ } 1\mbox{ }, 15\mbox{ }, 25 \mbox{ }, 10\mbox{ }, 1$ per cui

$k^5=k+15k^{(2)}+25k^{(3)}+10k^{(4)}+k^{(5)}.$

Una somma per parti¶

Impariamo l’applicazione della regola della somma per parti cercando la primitiva di $kq^k$ . Questa è la formula:

$\sum y_k\Delta z_k=y_kz_k-\sum\Delta y_kz_{k+1}$

Al primo membro c’è il prodotto fra una successione e la differenza di un’altra. Il fattore $\Delta z_k$ è una successione da leggere come fosse la differenza di un’altra. Dobbiamo scegliere questo termine con saggezza: dobbiamo essere in grado di scrivere la sua primitiva. Al secondo membro compare poi una somma indefinita, che costituisce l’ostacolo maggiore.

Dunque, cerchiamo di determinare $\sum kq^k$ . Fra i due fattori, $k$ e $q^k$ , quale può essere pensato come differenza di un’altra successione? In realtà, entrambi. Proviamo quindi con il più facile: $k$ .

$k &=\Delta\frac{k^{(2)}}{2}\\ \sum kq^k &=\sum q^k\Delta\frac{k^{(2)}}{2}=\frac{1}{2}\sum q^k\Delta{k^{(2)}}$

Per il momento trascuriamo $\frac{1}{2}$ e applichiamo la formula della somma per parti:

$\sum q^k\Delta{q^{(2)}}=q^k\Delta k^{(2)}-\sum (k+1)^{(2)}\Delta q^k= q^kk^{(2)}-(q-1)\sum(k+1)^{(2)}q^k$

Purtroppo l’ultima somma è ancora più difficile dell’esercizio di partenza, per cui dobbiamo cambiare strada. Questa volta puntiamo su $q^k$ .

$q^k&=\Delta\frac{q^k}{q-1}\\ \sum kq^k &=\sum k\frac{q^k}{q-1}=\frac{1}{q-1}\sum k\Delta q^k$

Applichiamo la formula della somma per parti all’ultima somma:

$\sum k\Delta q^k=kq^k-\sum q^{(k+1)}\Delta k=kq^k-\sum q^{(k+1)}=kq^k-\frac{q^{k+1}}{q-1}+c$

quindi, ricapitolando:

$\sum kq^k &=\frac{1}{q-1}\sum k\Delta q^k=\frac{1}{q-1}\left[kq^k-\sum q^{(k+1)}\Delta k\right]=\\ &=\frac{1}{q-1}\left[kq^k-\frac{q^{k+1}}{q-1}\right]=\frac{(k-1)q^{k+1}-kq^k}{(k-1)^2}$

Possiamo ora applicare il teorema fondamentale per calcolare la somma dei primi n termini e con pochi passaggi troviamo il risultato già calcolato al termine del Cap.2.

Somme con i numeri di Fibonacci¶

I numeri di Fibonacci formano la successione: $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...$ secondo la regola $F_{k+1}=F_{k-1}+F_k$ : ogni termine, tranne i primi due che valgono $1$ , è la somma dei due precedenti. Poniamo che il primo indice sia $k=1$ , così che $F_1=1, F_2=1, F_3=2, ...$ e calcoliamo la somma $\sum_1^n F_k$ .

Somma dei numeri di Fibonacci¶

Un primo risultato si può ottenere per tentativi: la successione delle somme risulta $1, 2, 4, 7, 12, 20, ..., F_{k+2}-1$ : la somma di indice $k$ si ricava direttamente dalla successione, sottraendo $1$ al il termine di posto $k+2$ .

Note

Questa regola è empirica, ma si può dimostrare per induzione. La base dell’induzione è $\sum_1^nF_k=F_{n+2}-1$ . L’ereditarietà è $\sum_1^{n+1}F_k=F_{n+3}-1$ . Questo è vero perché $\sum_1^{n+1}F_k~=~\sum_1^{n}F_k+F_{n+1}=F_{n+2}-1+F_{n+1}=F_{n+3}-1$ .

Supponiamo di non conoscere il risultato e ripartiamo dalla definizione: $F_{k+1}=F_{k-1}+F_k$ . Da questa deriva:

$F_{k+2}=F_{k+1}+F_k\ \to \ F_{k+2}-F_{k+1}=F_k\ \to \ \Delta F_{k+1}=F_k$

Risulta quindi che $F_{k+1}$ è una primitiva per $F_k$ e possiamo applicare il teorema fondamentale del calcolo delle somme:

$\sum_1^nF_k=\left [F_{k+1}\right]_1^{n+1}=F_{n+2}-F_2=F_{n+2}-1.$

Somma dei numeri di Fibonacci moltiplicati pe i loroi indici¶

Proviamo a calcolare $\sum_1^nkF_k=F_1+2F_2+3F_3+...+nF_n$ .

Dall’esempio precedente sappiamo che $f_{k+1}$ è la primitiva di $F_k$ . Allora, usando la somma definita per parti,

$&\sum_1^n kF_k=\sum_1^nk\Delta F_{k+1}=\left[kF_{k+1}\right]_1^{n+1}- \sum_1^nF_{k+2}\Delta k=\\ &=(n+1)F_{n+2}-F_2-\sum_1^nF_{k+2}=(n+1)F_{n+2}-1-\sum_3^{n+2}F_k=\\ &=(n+1)F_{n+2}-1-\left[F_{k+1}\right]_3^{n+3}=(n+1)F_{n+2}-1-(F_{n+4}-F_4)=\\ &=(n+1)F_{n+2}-1-F_{n+4}+3=(n+1)F_{n+2}-F_{n+4}+2=\\ &=(n+1)F_{n+2}-(F_{n+2}+F_{n+3})+2=nF_{n+2}-F_{n+3}+2.$

Per esempio, per $n=6$ abbiamo $\sum_1^6kF_k=6F_8-F_9+2=6\cdot 21-34+2=94$ .

Riassunto¶

Il teorema fondamentale del calcolo delle somme dice che la somma di una successione si ottiene svolgendo la differenza fra la primitiva del termine successivo all’ultimo e la primitiva del suo primo termine.
Il teorema ci consente il calcolo delle somme, purché si sappiano calcolare le primitive.
Le primitive vengono calcolate rovesciando i ragionamenti già conosciuti sulle differenze: se si riconosce che una successione è la differenza di un’altra, allora quest’ultima è la sua primitiva, a meno di una costante.
Per lo stretto legame esistente fra somme e primitive, il simbolo di primitiva è uguale al simbolo di somma, senza indici.
Se una successione è data dalla somma di due successioni, allora le sue primitive si ricavano dalle somme delle sue primitive.
Se una successione ha tutti i termini moltiplicati per una costante, allora i termini delle sue primitive saranno tutti moltiplicati per la stessa costante.
Non c’è una regola sul prodotto fra due successioni, analoga alla regola della somma. Esiste una regola sul prodotto alquanto laboriosa ma utile in molti casi: la regola della somma per parti.
I numeri di Stirling di seconda specie forniscono i coefficienti per sviluppare la potenza di un numero in termini dei suoi fattoriali decrescenti.

Esercizi¶

Dimostra la Regola di calcolo 1, partendo dal risultato. Metti in evidenza le ipotesi prima di procedere.
Dimostra la Regola di calcolo 2, partendo dal risultato. Metti in evidenza le ipotesi prima di procedere.
Calcola la somma dei primi n numeri dispari, seguendo le regole del paragrafo 3.5.
Concludi l’esercizio della somma di n cubi, come iniziato nel sottoparagrafo 3.5.2.
Usando i numeri di Stirling di seconda specie, sviluppa $k^4$ e calcola $\sum k^4$ .
Concludi l’ultimo esempio del capitolo, esplicitando i calcoli.
Concludi il paragrafo 3.6.3, questa volta a partire dalla somma definita per parti.