Dalle differenze alle somme¶

Premessa¶

Il nostro viaggio nel calcolo integrale inizia con le successioni, più precisamente con il tentativo di ricostruire i termini di una successione, a partire dal suo tasso di variazione.

Il secondo passo, nei capitoli successivi, sarà quello di applicare al calcolo delle somme le conoscenze acquisite . Tutto questo ci introdurrà al calcolo degli inetgrali, somme di infiniti infinitesimi.

Le differenze e le successioni¶

La figura seguente illustra, in un caso semplice, il problema centrale di questo capitolo: quali valori ha la successione $y_k$ ? Possiamo ricavarli a partire dai valori delle sue differenze? E se riusciamo a ricostruire i risultati, saranno gli unici possibili?

Siccome la differenza $\Delta y_0$ fra il primo e il secondo termine è $2$ , avremo il secondo più grande di due unità rispetto al primo, cioè $\Delta y_0= y_1-y_0=2\ \to y_1=y_0+2$ . Quindi se il primo termine è, per esempio 10, allora il secondo è 12. Proseguendo così, il terzo risulta 15, il quarto 16 e così via. Purtroppo però nessuno garantisce che il primo sia $10$ e i nostri risultati valgono solo sotto questa ipotesi. Se il primo termine fosse invece $5$ , la sequenza dei termini sarebbe: $\{5, 7, 10, 11, 11, 9, 7, 8, 12\}$ . La sequenza delle differenze ci dà un’informazione incompleta, fornisce solo le variazioni fra gli elementi delle successione. Nella figura seguente le variazioni sono rappresentate dalle pendenze dei segmenti in basso, che partono tutti da zero.

Solo se si conosce un valore qualsiasi della successione, il valore iniziale o quello finale oppure uno dei valori intermedi, allora i singoli segmenti formeranno un’unica spezzata. Non conoscendo il valore iniziale, lo chiamiamo $y_0$ , oppure $c$ . Variando c, le spezzate sono infinite: tutte uguali come andamento, ma distinte per il valore iniziale.

Pur tenendo conto di questa incertezza, possiamo riconoscere un’altra regola. Partendo come prima da $y_0=5$ , il secondo termine si ottiene aggiungendo la prima differenza, cioè $2$ e il terzo aggiungendo la differenza successiva: $y_2=5+2+3=5+\Delta y_0+\Delta y_1$ . Con questa regola è facile ottenere l’ultimo termine: basta aggiungere al primo termine la somma di tutte le differenze intermedie:

$y_k= y_0+ \Delta y_0+\Delta y_1+..+\Delta y_{k-1}=y_0+\sum_0^{k-1}\Delta y_i$

La lettera $i$ in quella posizione rappresenta l’indice di $\Delta y$ , che varia da $\Delta y_0$ a $\Delta y_{k-1}$

Anche le differenze di una successione formano una successione: la successione delle differenze. Se diamo a questa successione il nome $\langle y_k \rangle$ , l’esempio che abbiamo esaminato è un tentativo di ricostruire i valori di una successione originaria $\langle Y_k\rangle$ , conoscendo i suoi tassi di variazione $\Delta Y_k= y_k$ .

Esistenza della primitiva¶

Esiste sempre $\langle Y_k \rangle$ ? Sarà sempre possibile pensare una successione come fosse la successione delle differenze di un’altra successione, cioè sarà sempre possibile, partendo da una $\langle y_k \rangle_0^n$ , trovare una $\langle Y_k\rangle_0^{n+1}$ tale che sia $\Delta Y_k= y_k$ , e che questo avvenga per tutti gli indici?

In realtà questo è sempre possibile, e le soluzioni sono infinite. Infatti fissiamo dapprima un valore arbitrario $Y_0=c$ . Dato che la prima differenza $\Delta Y_0$ deve essere $\Delta Y_0=y_0\ \to\ Y_1-Y_0=c+y_0$ . Quindi $Y_1=Y_0+y_0=c+y_0$ . Poi si prosegue con lo stesso ragionamento: $Y_2=Y_1+y_1=c+y_0+y_1$ . Dopo qualche prova, perveniamo a:

$Y_k=c+y_0+y_1+...+y_{n-1}=c+\sum_0^{k-1}y_i$

Poiché in generale le successioni partono da un indice $m$ , possiamo riscrivere:

$Y_k=c+\sum_m^{k-1}y_i$

$\langle Y_k\rangle_m^{n+1}$ si dice primitiva della successione $\langle y_k\rangle_m^{n}$ , se avviene che per $k=m...n$ , $\Delta Y_k=y_k$ . Il variare di $c$ dà luogo a infinite primitive.

Note

Il termine primitiva troverà più avanti un’adeguata giustificazione, nel confronto con il termine derivata.

Un esempio¶

Applichiamo la regola precedente al caso più semplice: cerchiamo le primitive della successione $\langle k\rangle _0^n$ dei naturali. La formula precedente diventa

$Y_k=c+\sum_1^{k-1}i$

La somma in questione è quella di $k-1$ numeri naturali e vale $\frac{k(k-1)}{2}$ . Lo si può facilmente vedere pensando che $1+2+3+...+(k-1)$ sia una somma di quadretti posti in strisce sovrapposte, in modo da formare una gradinata. Nel disegno che segue la somma è per $k=6$ .

Quindi si ha: $Y_k=c+\frac{k(k-1)}{2}=c+\frac{k^{(2)}}{2}$ . Nel caso più semplice ( $c=0$ ) si ha la successione $0, 1, 3, 6, 10, 15...$ , le cui differenze formano proprio la successione dei naturali. D’altronde le differenze possono anche essere calcolate per via diretta con le regole che sappiamo:

$\Delta Y_k=\Delta\left(c+\sum_1^{k-1}i\right)= \Delta c+\frac{1}{2}\Delta k^{(2)}= 0+\frac{1}{2}2k=k.$

Le proprietà delle somme¶

Abiamo dunque trovato che è sempre possibile trovare le primitive di una successione e che queste si esprimono attraverso le somme. Quindi le proprietà delle somme diventano importanti per i nostri scopi e qui le riassumiamo brevemente.

Indichiamo con $\sum_{k=m}^n y_k$ , oppure con $\sum_m^ny_k$ la somma dei termini della successione $\langle y_k\rangle_m^n$ . L’espressione di somma viene letta così: “somma per k che va da m a n”. $k$ è una variabile fittizia, cioè un indice che dice quale degli $n$ termini stiamo sommando. Le proprietà della somma sono quelle usuali di linearità, cioè:

1) $\sum_m^ncy_k=c\sum_m^ny_k$ . (Dalla proprietà distributiva del prodotto sulla somma).

2) $\sum_m^n(y_k\pm z_k)=\sum_m^ny_k\pm\sum_m^nz_k$ . (Dalla proprietà commutativa della somma).

Inoltre si ha: 3) $\sum_m^nc=(m-n+1)c$ . (Somma di k termini tutti uguali)

Le somme sono difficili da calcolare¶

Se la successione viene data in forma numerica, trovare le sue primitive è un calcolo semplice, che può essere affidato a un computer, se risulta laborioso. Invece sorgono problemi notevoli quando la successione è espressa attraverso una formula e quindi la primitiva deve essere una formula. Ovviamente la difficoltà sta nell’esprimere le somme, come si vede dai prossimi esempi.

Successione di potenze¶

Data $\langle q^k\rangle_0^n=\{0,1, q, q^2, q^3..., q^n\}$ , applicando la formula delle primitive, abbiamo:

$Y_k=c+\sum_0^{k-1}q^i=c+1+q+q^2+q^2+...+q^n.$

Per trovare il valore della somma che abbiamo sviluppato non c’è una regola generale: dobbiamo ricorrere a qualche manipolazione algebrica. Chiamiamo $S$ la somma degli $n$ termini. Allora

$&Y_k=c+\sum_0^{k-1}q^i=c+1+q+q^2+q^2+...+q^n=c+S\\ &S=1+q+q^2+q^2+...+q^n\\ &qS=q+q^2+q^2+...+q^{n+1}\\ &qS-S=q^{n+1}-1\\ &S=\frac{q^{n+1}-1}{q-1}.$

Se poniamo $n+1=k$ , abbiamo $Y_k=c+\frac{q^k-1}{q-1}$ . Se la frazione viene spezzata nella differenza di due frazioni, la seconda frazione non contiene $k$ e quindi rappresenta una costante. Il risultato finale sarà:

$Y_k=\frac{q^k}{q-1}+c$

dove $c$ questa volta è la costante che ingloba anche il secondo termine della differenza.

Successione di quadrati¶

La successione dei quadrati $\langle k^2\rangle_1^n$ ha le primitive date dalla formula

$Y_k=c+\sum_1^{k-1}i^2=c+1^2+2^2+3^2+...+(k-1)^2.$

nel volume Iperreali, Cap.3.2, appiamo già ricavato per via grafica la formula della somma di $n$ numeri quadrati: $1^2+2^2+3^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ . Quindi, sostituendo $k-1$ al posto di $n$ , abbiamo:

$Y_k=c+\frac{k(k-1)(2k-1)}{6}$

Conoscere già il risultato è un grande aiuto, infatti se dovessimo ricavarlo avremmo parecchi problemi.

Passiamo al controllo del risultato, calcolando le differenze. Poiché $\Delta c=0$ , Il calcolo è

$\Delta Y_k&=\Delta\left[\frac{k(k-1)(2k-1)}{6}\right]=\frac{k(k+1)(2k+1}{6}-\frac{k(k-1)(2k-1)}{6}=\\ &=\frac{k}{6}\left[(2k^2+3k-1)-(2k^2-3k+1)\right]=\frac{k}{6}6k=k^2.$

Successione di prodotti fra coppie di successivi¶

Usando tecniche simili a quelle ricordate nel caso precedente, si ricava che

$Y_k=c+\sum_1^{k-1}i(i+1)=c+\frac{k(k-1)(k+1)}{3}$

è la somma della successione

$\{1\cdot 2,2\cdot3,3\cdot4,...,n\cdot(n+1)\}=\langle k(k+1)\rangle_1^n.$

Ma anche senza ricorrere a tecniche grafiche, la cosa può essere dimostrata moltiplicando l’espressione sotto il segno di somma e ricorrendo alle proprietà già viste.

Verifichiamo invece le differenze:

$\Delta Y_k&=\Delta\left[\frac{k(k-1)(k+1)}{3}\right]=\frac{k(k+1)(k+2)}{3}-\frac{k(k-1)(k+1)}{3}=\\ &=\frac{k(k+1)}{3}[(k+2)-(k-1)]=\frac{k(k+1)}{3}3=k(k+1).$

Successione di potenze moltiplicate per l’esponente¶

La successione

$\langle kq^k\rangle_1^n=q,2q^2,3q^3,4q^4,...,nq^n$

ha per primitiva

$Y_k=c+\sum_1^{k-1}iq^i=c+\frac{(k-1)q^{k+1}-kq^k+q}{(q-1)^2}$

La dimostrazione della somma è piuttosto laboriosa, a meno di non ricorrere alle derivate. Infatti

$\sum_1^nkq^k=q+2q^2+3q^3+...+nq^n=q(1+2q+3q^2+...+nq^{n-1})$

La somma tra parentesi è la derivata di $1+q+q^2+...+q^n$ e, a sua volta, questa somma è il risultato del quoziente $\frac{q^{n+1}-1}{q-1}$ . Quindi:

$D\left[\frac{q^{n+1}-1}{q-1}\right]&=\frac{(n+1)q^n(q-1)-(q^{n+1}-1)}{(q-1)^2}=\\ &=\frac{(n+1)q^{n+1}-(n+1)q^n-q^{n+1}+1}{(q-1)^2}=\\ &=\frac{nq^{n+1}-(n+1)q^n+1}{(q-1)^2}.$

Moliplicando per $q$ si ottiene la somma cercata:

$\sum_1^nkq^k=\frac{nq^{n+2}-(n+1)q^{n+1}+q}{(q-1)^2}=\frac{(k-1)q^{k+1}-kq^k+q}{(q-1)^2}.$

Note

Anche in questo caso si può spezzare la frazione precedente per isolare l’addendo che non dipende da $k$ , cioè $\frac{(k-1)q^{k+1}-kq^k+q}{(q-1)^2}=\frac{(k-1)q^{k+1}-kq^k}{(q-1)^2}+\frac{q}{(q-1)^2}$ . L’ultimo termine è quindi costante e può diventare parte della costante generica $c$ , per cui: $Y_k=c+ \frac{(k-1)q^{k+1}-kq^k}{(q-1)^2}$ .

Conclusioni¶

Come si vede, non è per niente semplice calcolare le somme che entrano nell’espressione delle primitive. La difficoltà sta nel fatto che non si tratta solo di calcoli in genere piuttosto laboriosi, ma soprattutto della mancanza di una regola generale applicabile ad ogni caso.

Riassunto¶

Il problema è come risalire ai termini di una successione conoscendo la successione delle sue differenze.
In questa logica la successione prodotta dalle differenze è la successione derivata, mentre la successione a cui risalire si chiama successione delle primitive: $\Delta Y_k= y_k$ .
Le primitive di una successione sono infinite e differiscono l’una dall’altra per una costante.
Se la successione delle differenze non è data per valori ma con una formula, per risalire alle primitive occorre calcolare le somme della successione.
In generale il calcolo delle somme di una successione è difficile e manca una regola di riferimento.

Esercizi¶

Dimostra le tre proprietà della somma esplicitando i simboli di sommatoria.
I numeri dispari possono essere pensati come differenze fra due quadrati successivi. Applica la definizione di primitiva alla successione dei dispari $\langle2k-1\rangle_1^n$ e usa le proprietà della somma per ricavare le primitive $Y_k=c+(2k-1)^2$ .
Spiega: se una successione ha i termini positivi, cosa si può dire delle sue differenze?
Verifica il risultato precedente, calcolando le differenze delle somme ottenute.
Scrivi e verifica un algoritmo che calcola i termini di una primitiva, man mano che legge i termini numerici di una successione.
Completando l’ultimo passaggio nel par.2.6.1, verifica che la successione di potenze ha davvero la primitiva indicata e poi calcola le sue differenze.
Seguendo le indicazioni date, dimostra la formula della primitiva della successione dei prodotti fra due naturali consecutivi, nel Par.2.6.3.
Verifica che la primitiva del Par.2.6.4 ha per differenza la successione data.