Le derivate di ordine superiore¶

Differenze seconde e di ordine superiore¶

Le differenze seconde per la successione $\left\langle y_k\right\rangle$

All’inizio del corso abbiamo visto la successione $\left\langle y_k\right\rangle$ e messo in tabella i suoi valori e le loro differenze. A quella tabella aggiungiamo una riga, per elencare le differenze delle differenze, cioè le differenze seconde, in simboli $\Delta^2y_k=\Delta\left[\Delta y_k\right]=\Delta y_{k+1}-\Delta y_k$ . I valori delle differenze seconde si ottengono dalla penultima riga, e le differenze seconde calcolabili sono una di meno rispetto alle differenze prime.

Se troviamo un valore $\Delta^2y_k=0$ , vuol dire che $\Delta y_k=\Delta y_{k+1}$ , cioè nella riga superiore si trovano in corrispondenza due differenze prime consecutive uguali. A sua volta questo vuol dire che nella seconda riga fra i tre valori $y_k$ corrispondenti c’è la stessa crescita o lo stesso calo. Quindi nel grafico della successione i tre punti in questione sono allineati, perché i due segmenti consecutivi hanno la stessa pendenza.

$\Delta^2 y_5=0$ perché i punti sono allineati per $k=5,6,7$ .

Se invece $\Delta^2 y_k>0$ , allora $\Delta y_{k+1}>\Delta y_k$ , cioè i due segmenti hanno pendenza crescente e formano una spezzata concava verso l’alto, come i primi 3 punti del grafico. Al contrario, se $\Delta^2 y_k<0$ , allora $\Delta y_{k+1}<\Delta y_k$ , e la spezzata è concava verso il basso.

Le differenze seconde coinvolgono necessariamente tre punti consecutivi, come si vede da $\Delta^2 y_k=\Delta y_{k+1}-\Delta y_k= (y_{k+2}-y_{k+1})-(y_{k+1}-y_k)=y_{k+2}-2y_{k+1}+y_k$ . Se poi $\Delta^2 y_k= 0$ , allora $y_{k+2}-2y_{k+1}+y_k=0$ e la conseguenza è che $y_{k+1}=\frac{y_k+y_{k+2}}{2}$ , cioè l’ordinata del secondo punto è la media aritmetica delle altre due ordinate. Poiché le ascisse dei tre punti sono equidistanziate, il secondo punto è il punto medio fra il primo e il terzo.

Dal punto di vista del calcolo, le differenze seconde hanno le stesse regole delle differenze prime. Quindi, data l’espressione di $\left\langle y_k\right\rangle$ , si calcolano le differenze prime con le regole già viste nei capitoli 3 e 4, poi si applicano di nuovo le stesse regole sull’espressione risultante.

Differenze successive¶

Esistono (e a questo punto sono facili da calcolare) anche le differenze terze, le quarte e così via. Per esempio, non è difficile scoprire che $\Delta^3y_k=y_{k+3}-3y_{k+2}+3y_{k+1}-y_k$ .

Abbiamo visto che le differenze prime esprimono l’idea della pendenza dei segmenti, le differenze seconde esprimono l’idea della concavità. Per le ulteriori differenze, crescendo l’ordine è sempre più arduo dare un significato geometrico al calcolo. L’indice che esprime l’ordine della differenza evoca un esponente. Infatti, guardando l’espressione che sviluppa la differenza di un certo ordine e confrontandola con l’espressione corrispondente della potenza di un binomio si scopre che l’analogia è sistematica e puntuale. Per esempio, la differenza di ordine 4 è: $\Delta^4 y_k=y_{k+4}-4y_{k+3}+6y_{k+2}-4y_{k+1}+y_k$ e i suoi coefficienti sono i coefficienti binomiali per l’espressione $(a-b)^4$ . L’ordine n della differenza $\Delta^n y_k$ , pur non essendo un esponente, produce nel risultato i coefficienti che produrrebbe se fosse l’esponente di un binomio $(a-b)^n$ .

Rapporti incrementali di ordine superiore¶

Nelle funzioni a dominio discreto¶

I rapporti incrementali sono i rapporti fra le differenze. I rapporti incrementali di ordine superiore si calcolano per le funzioni a dominio discreto in analogia con quanto abbiamo appena definito.

Data una funzione a dominio discreto $f:\left\{ x_k\right\} \to \mathbf{R}\mbox{, con }f(x_k)=y_k$ , abbiamo il rapporto incrementale relativo all’indice k: $y'=\frac{\Delta y_k}{\Delta x_k}=\frac{\Delta f(x_k)}{\Delta x_k}$ il rapporto incrementale del rapporto incrementale, o rapporto incrementale secondo: $y_k''=\frac{\Delta y'_k}{\Delta x_k}$ , il rapporto incrementale terzo: $y_k'''=\frac{\Delta y''_k}{\Delta x_k}$ .

e così via.

Significato geometrico del rapporto incrementale secondo.

Analogamente a quello che si è visto per la differenza seconda nelle successioni, il significato geometrico del rapporto incrementale secondo $y_k''=\frac{\Delta y'_k}{\Delta x_k}$ è la concavità della spezzata che unisce tre punti consecutivi della funzione. Se $y_k''=0$ , allora i tre punti sono allineati.

Note

L’analogia stretta fra la differenza nelle successioni e il rapporto incrementale nelle funzioni a dominio discreto dipende dal fatto che anche la differenza è un rapporto incrementale, in quanto per le successioni $\Delta y_k=\frac{\Delta y_k}{\Delta k}$ perché $\Delta k = 1$ (k è la successione degli indici, vedi Cap.3).

Nelle funzioni a dominio discreto, se nella funzione $y_k=f(x_k)$ gli incrementi $\Delta x_k$ sono fra loro uguali a $\Delta x$ , la funzione diventa una successione di ragione $\Delta x$ , in cui l’incremento gioca il ruolo dell’indice. Allora:

il rapporto incrementale secondo è: $y_k''=\frac{\Delta y'_k}{\Delta x}= \frac{\Delta\left[\frac{\Delta y'_k}{\Delta x}\right]}{\Delta x}= \frac{\Delta^2 y_k}{(\Delta x)^2}$

il rapporto incrementale terzo è $y'''_k=\ ...\ =\frac{\Delta^3 y_k}{(\Delta x)^3}$ , e così via.

Nelle funzioni a dominio continuo¶

Il rapporto incrementale nelle funzioni a dominio continuo indica il tasso medio di variazione $\Delta f(x)$ della funzione rispetto all’incremento finito $\Delta x$ , cioè $\frac{\Delta f(x)}{\Delta x}= \frac{\Delta f(x)}{h}=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ , dove abbiamo definito con h quella particolare variazione di x.

Il rapporto incrementale secondo, potrebbe essere calcolato anche per una variazione di x eventualmente diversa da h ( $\Delta x=k\ne h$ ) ed esprime il tasso medio di variazione del tasso medio di variazione.

$\frac{\Delta\left[\frac{\Delta f(x)}{h}\right]}{k}= \frac{\Delta\left[\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\right]}{k}= \frac{\frac{f(x+h+k)-f(x+h)}{h}-\frac{f(x+k)-f(x)}{h}}{k}= \frac{f(x+h+k)+f(x+h)-f(x+k)+f(x)}{hk}$ .

Il suo significato geometrico è quello già visto nei casi precedenti. Se il rapporto incrementale secondo è positivo, o negativo, o nullo, la spezzata che unisce i punti del grafico corrispondenti alle ascisse x, x+h, x+h+k è concava verso l’alto, o verso il basso, oppure si tratta di punti allineati.

Se h=k , e quindi i $\Delta x$ sono uguali, siamo nella situazione più semplice, cioè al caso delle funzioni a dominio discreto, e possiamo scrivere: $\frac{\Delta\frac{\Delta f(x)}{\Delta x}}{\Delta x}= \frac{\Delta^2 f(x)}{(\Delta x)^2}$ , indicando con $\Delta^2 f(x)=\Delta[\Delta f(x)]=\Delta[f(x+\Delta x)-f(x)]=\\ =[f(x+2\Delta x)-f(x+\Delta x)]-[f(x+\Delta x)-f(x)]= \\ =f(x+2\Delta x)-2f(x+\Delta x)+f(x)$ (confronta con il 14.1.1 per i coefficienti).

Sviluppando il ragionamento come nei casi precedenti, arriviamo al rapporto incrementale di ordine n: $\frac{\Delta^nf(x)}{(\Delta x)^n}$ .

Derivata seconda e derivate successive¶

Nelle funzioni a dominio continuo abbiamo anche definito il tasso di variazione puntuale, cioè relativo ad un incremento infinitesimo $dx$ : si tratta della derivata. Seguendo le stesse logiche, definiamo:

La derivata seconda è la derivata della derivata e la indichiamo con

$D[Df(x)]=D^2f(x)=f''(x)$ .

E ricordando che la derivata è la parte standard del rapporto differenziale, quando esso è finito e la parte standard è la stessa per ogni incremento infinitesimo $dx$ : $Df(x)=st\left[\frac{df(x)}{dx}\right]$ .

Possiamo dare la definizione equivalente:

La derivata seconda di $f(x)$ è $D^2f(x)=D[Df(x)]=st\left[\frac{df'(x)}{dx}\right]$ , se la derivata prima è continua, il suo rapporto differenziale è finito e con la stessa parte standard per qualsiasi incremento infinitesimo $dx$ .

Calcolare la derivata seconda di una funzione, o anche le derivate successive, purché esistano, è facile: si applicano ripetutamente le regole di derivazione viste nei capitoli precedenti.

Il significato geometrico della derivata seconda è intuibile: ci informa sulla concavità della curva in quel punto (vedi Esempio 5).

La derivata seconda ha una frequente applicazione anche in fisica: per esempio, poiché la velocità istantanea si calcola derivando l’equazione del moto, allora la derivata seconda esprime la variazione puntuale della velocità istantanea, cioè l’accelerazione istantanea. Infatti, data l’equazione del moto uniformemente accelerato $s(t)=s_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2$ , abbiamo:

$s'(t)=v(t)=v_0+at\mbox{ e }s''(t)=v'(t)=a$ .

Esempi¶

Calcolare le derivate successive di $f(x)=\cos x$ .

$f'(x)=-\sin x\mbox{ , }f''(x)=-\cos x\mbox{ , }f'''(x)=sin x$ ...

Quindi le espressioni delle derivate successive dipendono dai resti della divisione per 4.

$D^n\cos x=\begin{cases} \cos x, & \mbox{se }n\mbox{mod}4=0 \\ -\sin x, & \mbox{se }n\mbox{mod}4=1 \\ -\cos x, & \mbox{se }n\mbox{mod}4=2 \\ \sin x, & \mbox{se }n\mbox{mod}4=3\end{cases}$
Calcolare $D^n\ln(1+x)$

$D\ln(1+x)=\frac{1}{1+x}\\ D^2\ln(1+x)=D\frac{1}{1+x}=-\frac{1}{(1+x)^2}\\ D^3\ln(1+x)=D\left[-\frac{1}{(1+x)^2}\right]= D\left[-(1+x)^{-2}\right]=2(1+x)^{-3}=\frac{2}{(1+x)^3}\\ D^4\ln(1+x)=D\left[2(1+x)^{-3}\right]=-6(1+x)^{-4}=-\frac{6}{(1+x)^4}\\ \mbox{ ... }\\ D^n\ln(1+x)=\frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{(1+x)^n}$ .
Ricavare l’accelerazione nella legge oraria del moto armonico.

Il moto armonico è la proiezione sull’asse x del moto circolare uniforme. In questo moto, un punto si muove su una circonferenza di raggio R con velocità angolare $\omega$ e con angolo iniziale $\theta_0$ . L’angolo spazzato dal raggio al tempo t è $\theta(t)=\theta_0+\omega t$ e l’ascissa al tempo t che corrisponde al punto mobile, estremo del raggio, vale allora: $x(t)=R\cos(\omega t+ \theta_0)$ , che è la legge oraria del moto armonico. La velocità istantanea è data dalla derivata prima e l’accelerazione dalla derivata seconda. Quindi $v(t)=x'(t)=R\left[-\sin(\omega t+ \theta_0)\right]\omega= -\omega R\sin(\omega t+ \theta_0)$

$a(t)=v'(t)=-\omega R \cos(\omega t+ \theta_0)\omega= -\omega^2R\cos(\omega t+ \theta_0)=-\omega^2x(t)$ .
Quale è la concavità della funzione $f(x)=\ln x$ ?

$D^2\ln x=D\frac{1}{x}=-\frac{1}{x^2}<0$ . La derivata seconda è negativa per ogni x, quindi il grafico della funzione è concavo verso il basso.

Differenziale secondo e derivata seconda¶

La derivata è stata definita come $Df(x)=st\left[\frac{df(x)}{dx}\right]$ , parte standard del rapporto differenziale, e poi, per semplicità d’uso, abbiamo convenuto di usare l’uguaglianza semplice $Df(x)=\frac{df(x)}{dx}$ poiché i due numeri sono infinitamente vicini.

Definiamo per analogia il differenziale secondo: $d^2f(x)=d[df(x)]$ . Nel caso più generale, gli incrementi relativi ai due differenziali sono diversi, per cui si ha

$d^2f(x)=d[f(x+\delta)-f(x)]= [f(x+\delta+\epsilon)-f(x+\delta)]-[f(x+\epsilon)-f(x)]=\\ =f(x+\delta+\epsilon)-f(x+\delta)-f(x+\epsilon)+f(x)$ .

Ne consegue la definizione di derivata (anche qui per brevità ci limitiamo all’uguaglianza delle parti standard):

$D^2f(x)= \frac{f(x+\delta+\epsilon)-f(x+\delta)-f(x+\epsilon)+f(x)}{\epsilon\delta}$

Come sempre, perché la derivata esista, il rapporto differenziale deve essere finito e indipendente da ogni coppia $\epsilon\delta$ . Allora la derivata è la parte standard del rapporto differenziale. Quindi, se la derivata esiste, possiamo ridurci al caso più semplice di $\epsilon=\delta=dx$ . Abbiamo: $df(x)=f(x+2dx)-2f(x+dx)+f(x)$ , e la conseguente definizione di derivata seconda:

$D^2f(x)=D\frac{df(x)}{dx}=\frac{d\left[\frac{df(x)}{dx}\right]}{dx}= \frac{d^2f(x)}{(dx)^2}=\frac{f(x+2dx)-2f(x+dx)+f(x)}{(dx)^2}$ .

Nessuno si sognerebbe di applicare la definizione di rapporto differenziale per calcolare la derivata seconda: molto più facile e immediato applicare due volte le regole di derivazione.

I discorsi relativi alle derivate di ordine superiore vengono di conseguenza: la derivata di ordine n è la parte standard del rapporto differenziale $D^nf(x)=\frac{d^nf(x)}{(dx)^n}$ . Si possono omettere le parentesi al denominatore, pur di ricordarsi che n non è un esponente.

Esercizi impegnativi e un caso patologico¶

$y=\sin\frac{1}{x}$ ¶

Analizza il comportamento asintotico nello zero di $y=\sin\frac{1}{x}$ .

Se si conosce il grafico di una funzione f(x) si può dedurre il grafico di $f(\frac{1}{x})$ :

per $x=\pm 1$ i due grafici coincidono
per $x>1,\ f(\frac{1}{x})$ ha lo stesso andamento che ha f(x) fra 0 e 1.
per $0<x<1,\ f(\frac{1}{x})$ ha lo stesso andamento che ha f(x) per $x>1$ .
con i numeri negativi il discorso è simmetrico.

Nel nostro esercizio:

$\sin0=0, \sin1=0.84$ . Quindi per $x\ge 1,\ \sin\frac{1}{x}$ passa da 0.84 a 0. In particolare, all’infinito $\sin\frac{1}{+\infty}\approx\sin 0\approx 0$ e l’asse x è asintoto orizzontale
per $x\ge 1 \ \sin x$ oscilla infinitamente fra -1 e 1, quindi per $0<x<1,\ \sin\frac{1}{x}$ oscilla infinitamente fra -1 e 1.
il grafico è simmetrico rispetto all’origine perché la funzione è dispari.

$y=\sin\frac{1}{x}$ .

Per evidenziare che in zero il comportamento asintotico è irregolare, cerchiamo due infinitesimi sui quali la funzione ha valori con parti standard diverse. Per esempio:

$\sin\frac{1}{x}=1\mbox{ per } \frac{1}{x}= \frac{\pi}{2}+2k\pi \mbox{, cioè per }x= \frac{1}{\frac{\pi}{2}+2k\pi}$ che, se k è un ipernaturale infinito N, risulta $x=\frac{1}{\frac{\pi}{2}+2N\pi}\approx 0$ .

Invece per $x=\frac{1}{\frac{3\pi}{2}+2N\pi}\approx 0$ si ha che $\sin\frac{1}{x}\approx -1$ . In pratica, per N infinito, x è infinitamente vicino a zero e la funzione assume continuamente valori diversi. La funzione non è definita in zero.

$y=x\sin\frac{1}{x}$ ¶

Analizza il comportamento asintotico di $y=x\sin\frac{1}{x}$ .

Visto l’esercizio precedente, in cui la funzione nello zero oscilla fra -1 e 1, è facile concludere che ora f(x) oscilla fra le due rette y = x e y = -x

$y=x\sin\frac{1}{x}$ .

La funzione è pari, quindi il grafico è simmetrico rispetto all’asse y. Dato che le due rette che limitano il grafico della funzione attraversano l’origine, $f(x)\approx 0 \mbox{ per } x\approx 0$ . Possiamo quindi rendere continua la funzione, ponendo $f(0)=0$ .

Vediamo ora se la funzione in zero è derivabile. $\frac{f(dx)-f(0)}{dx}=\frac{dx\sin\frac{1}{dx}-0}{dx}=\sin\frac{1}{dx}$ . Siamo al caso precedente: il rapporto differenziale assume infinite volte valori fra -1 e 1: la funzione non è derivabile. Se vogliamo avere una funzione di questo tipo derivabile in zero, dobbiamo moltiplicare per x (vedi prossimo esercizio).

Per completare l’analisi del comportamento asintotico, vediamo cosa succede all’infinito. Posto $t=\frac{1}{x}$ abbiamo $y=x\sin\frac{1}{x}=\frac{\sin t}{t}$ . È il caso già analizzato nel Cap. 13 e possiamo concludere che all’infinito (destro ma anche sinistro) il grafico ha un asintoto orizzontale in $y = 1$ .

$y=x^2\sin\frac{1}{x}$ ¶

Analizza il comportamento asintotico in zero di $y=x^2\sin\frac{1}{x}$ .

Facendoci guidare dal caso precedente, vediamo che f(x) è schiacciata fra le due parabole.

$y=x^2\sin\frac{1}{x}$ .

Per questo motivo, si può renderla continua imponendo $f(x)=0 \mbox{ per } x=0$ , come nell’es.2. Per la derivabilità, vediamo il rapporto differenziale in zero:

$\frac{f(dx)-f(0)}{dx}=\frac{(dx)^2\sin\frac{1}{dx}-0}{dx}= (dx)\sin\frac{1}{dx}\approx 0$ .

Quindi $f'(0)=0$ .

L’espressione della derivata risulta:

$f'(x)=2x\sin\frac{1}{x}+x^2\cos\frac{1}{x}\left(-\frac{1}{x^2}\right)= 2x\sin\frac{1}{x}-\cos\frac{1}{x}$ .

La derivata seconda nello zero non esiste, perché la derivata prima, per quanto visto sopra, dipende da $\cos\frac{1}{x}$ , che ha un comportamento irregolare.

Un caso patologico¶

Nella definizione di derivata, in questo caso di derivata seconda, c’è un dettaglio importante: il rapporto differenziale $D^2f(x)= \frac{f(x+\delta+\epsilon)-f(x+\delta)-f(x+\epsilon)+f(x)}{\epsilon\delta}$ deve avere la stessa parte standard per ogni coppia di infinitesimi $\epsilon\delta$ . Se questo avviene, allora vale anche $\epsilon=\delta=dx$ , da cui segue la definizione $D^2f(x)=\frac{f(x+2dx)-2f(x+dx)+f(x)}{(dx)^2}$ (vale in ogni caso l’approssimazione che ci permette di usare il segno = al posto di $\approx$ ).

Ci possono essere funzioni per le quali il rapporto differenziale secondo ha un comportamento asintotico regolare solo se gli incrementi infinitesimi sono uguali. Quindi non si può dire che la derivata esiste, perché per $\epsilon\ne\delta$ il rapporto differenziale non ha sempre la stessa parte standard.

Consideriamo la funzione $f(x)=x^3\sin\frac{1}{x}+x^2$ e studiamola sulla base degli esempi precedenti.

$y=x^3\sin\frac{1}{x}+x^2$ .

Dal grafico, a prima vista non sembrano esserci questioni particolari, perché i valori oscillano strettamente a cavallo della cubica.

Rendiamo continua f(x) nello zero: $f(0\pm)\approx 0 \to f(0)=0$ . Per calcolare le derivate usiamo le definizioni. Per la derivata prima, in zero:

$\frac{f(dx)-f(0)}{dx}=\frac{(dx)^3\sin\frac{1}{dx}+(dx)^2}{dx}= (dx)^2\sin \frac{1}{dx}+dx\approx 0 \mbox{ e } f'(0)=0$ .

Per $x\ne0:\ f'(x)= 3x^2\sin\frac{1}{x}+x^3\cos\frac{1}{x}\left(-\frac{1}{x^2}\right)+2x= 3x^2\sin\frac{1}{x}-x\cos\frac{1}{x}+2x$ .

Il grafico di y’.

La derivata nello zero è stretta fra le rette $y = x$ e $y = 3x$

Anche $f'(0\pm)\approx 0$ e forse possiamo calcolare la derivata seconda. Per vedere se esiste:

$\frac{f'(dx)-f'(0)}{dx}= \frac{3(dx)^2\sin\frac{1}{dx}-(dx)\cos\frac{1}{dx}+2dx}{dx}= 3dx\sin\frac{1}{dx}-\cos\frac{1}{dx}+2$ .

Il primo termine è infinitamente vicino a zero, mentre il secondo oscilla infinitamente fra -1 e 1 nella monade dello zero. Quindi, se la derivata seconda si calcola derivando la derivata prima, cioè applicando successivamente due incrementi infinitesimi diversi, allora non esiste.

Come secondo tentativo, applichiamo la formula della derivata seconda per incrementi infinitesimi uguali $D^2f(x)=\frac{f(x+2dx)-2f(x+dx)+f(x)}{(dx)^2}$ .

Per $x = 0$ ,

$f(2dx)=(2dx)^3\sin\frac{1}{2dx}+2(dx)^2=8(dx)^2\sin\frac{1}{2dx}+4(dx)^2$

$2f(dx)=2(dx)^3\sin\frac{1}{dx}+2(dx)^2\mbox{ e }f(0)=0$ , per cui

$\frac{d^2f(0)}{(dx)^2}= 8(dx)\sin\frac{1}{2dx}+4-2(dx)\sin\frac{1}{dx}-2\approx 2$

In conclusione, la derivata in zero sembra essere 2, mentre non esiste. Negli esercizi a venire ci occuperemo solo di funzioni prive di questi problemi.

Riassunto¶

Le differenze seconde per una successione sono le differenze calcolate sulla successione ottenuta dalle differenze prime.
Analogamente, i rapporti incrementali del secondo ordine per le funzioni a dominio discreto e per le funzioni a dominio continuo vengono calcolati sui rapporti incrementali del primo ordine, seguendo le stesse regole.
Infine le derivate seconde si calcolano a partire dalle derivate prime, utilizzando le normali regole di derivazione. E tutto questo si ripete per le differenze, i rapporti incrementali e le derivate degli ordini successivi.
La questione sottile è se per una funzione derivabile esista anche la derivata seconda o le ulteriori derivate. Controllando che esista finito il rapporto differenziale secondo nel punto in questione si risolve l’aspetto della continuità, che è l’aspetto principale e il solo di cui ci occuperemo. Mentre trascureremo il problema di garantire che il rapporto differenziale sia lo stesso per ogni incremento.
Dal punto di vista grafico, la differenza, il rapporto incrementale e la derivata seconde danno informazioni locali sulla concavità della curva.

Esercizi¶

Per ogni terna consecutiva di punti rappresentati nel primo grafico del capitolo, illustra l’andamento delle differenze seconde.
Calcolare le derivate successive della funzione seno.