Il comportamento asintotico¶

Convergenza e divergenza delle successioni¶

Iniziamo dall’esempio noto (vedi 12.2): i termini di indice infinito della successione $y_k=\left(1+\frac{1}{k}\right)^k$ che definisce il Numero di Nepero hanno tutti la stessa parte standard $e$ . Si dice allora che la retta $y=e$ è un asintoto per la successione, cioè i punti del grafico della successione, per indici infiniti, sono indistinguibili dai punti della retta.

Il comportamento asintotico di $y_k=\left(1+\frac{1}{k}\right)^k$

Si dice che la successione è asintoticamente uguale a $e$ . In generale si dice che una successione $\langle y_k\rangle_m^{+\infty}$ converge al numero standard $s$ se $y_N=s$ per ogni indice $N$ infinito. $\left(1+\frac{1}{k}\right)^k<4$ per tutti i naturali k ed è crescente e il fatto che converga, come vedremo, è un esempio di quanto avviene per tutte le successioni monotone e limitate.

Due esempi¶

Le biglie bianche. Qual’è la probabilità di estrarre una biglia bianca da un sacchetto in cui tutte sono bianche, tranne una?

Abbiamo $k+1$ biglie, di cui $k$ sono bianche. Con due biglie in tutto la frazione $\frac{k}{k+1}$ che rappresenta la probabilità in questione, è prossima a $\frac{1}{2}$ . Ma se consideriamo numeri sempre più grandi troviamo che la successione $y_k=\frac{k}{k+1}$ converge a 1 (oppure che asintoticamente è uguale a 1), dato che $y_N=\frac{N}{N+1}\sim \frac{N}{N}=1$ , quando N è ipernaturale infinito.

L’ordinamento di un vettore. Per ordinare un vettore $a$ di $k$ numeri uso il seguente algoritmo: confronto il primo elemento con tutti gli altri e se ad ogni confronto lo trovo maggiore, eseguo lo scambio. Quando ho finito con il primo elemento, procedo allo stesso modo con il secondo. Questo è l’algoritmo:

Quale legge collega il numero di confronti $y_k$ alla lunghezza $k$ del vettore?

Per determinare il primo termine devo fare $k-1$ confronti, per il secondo i confronti sono $k-2$ e così via fino al penultimo, che si sistema grazie ad un confronto. Quindi in tutto i confronti sono $(1+2+3+..(k-2)+(k-1))=\frac{k(k-1)}{2}$ . Immaginiamo un vettore infinito. Allora $\frac{k(k-1)}{2}=\frac{N(N-1)}{2}\sim\frac{N^2}{2}$ , cioè il numero di confronti diverge positivamente ed è asintotico a $\frac{N^2}{2}$

Diciamo che una successione $\left\langle y_k\right\rangle_m^{+\infty}$ diverge positivamente (negativamente) se per ogni indice infinito $N$ si ha $y_N=+\infty (y_N=-\infty)$ .

Criterio per le successioni monotone¶

Teorema. Se una successione è crescente, il suo comportamento asintotico ha solo due possibilità: o diverge positivamente o converge. Le due situazioni appena descritte esemplificano questo teorema, che dimostriamo. Dobbiamo provare che i termini di indice infinito o sono infiniti oppure hanno tutti la stessa parte standard.

a) La successione diverge, supponiamo positivamente: cioè per i termini di indice infinito vale $y_N=+\infty$ . Se per assurdo non fosse così, allora esisterebbe un indice $M$ per cui $y_M$ è finito, cioè esisterebbe un numero standard $s$ tale che $y_M\le s$ . Dato che la successione è crescente, si ha che $y_k<~y_M\le s$ per tutti gli indici naturali $k$ . Ora questo non è possibile che valga solo per gli indici naturali, deve valere anche per gli ipernaturali, quindi anche per $M$ e questo contraddice l’ipotesi. In conclusione se un termine con indice infinito è infinito, lo sono anche gli altri con indice infinito.

b) Escludendo il caso a), la successione non diverge. Mostriamo allora che i termini di indici infinito hanno la stessa parte standard. Se, per assurdo, esistessero due indici infiniti $M$ e $N$ , con $M<N$ tali che $s_1=st(y_M)\ne st(y_N)=s_2$ allora $s_1<s_2$ perché la successione è crescente. Fra i due numeri potrebbe allora esistere un $s=\frac{s_1+s_2}{2}$ . Si avrebbe che $y_k<y_M<s$ per ogni naturale $k$ perché la successione è crescente. Dovrebbe valere lo stesso anche per l’indice infinito $N$ . Dato che $s_2>s$ questo è assurdo. In conclusione se la successione è crescente e non diverge, non può che convergere allo stesso valore.

Dalla doppia dimostrazione precedente ricaviamo una regola fondamentale: se una successione monotona è limitata, allora converge.

Tutto questo si applica in modo analogo alle successioni non decrescenti e anche a quelle decrescenti o non crescenti. Queste due ultime o convergono o divergono a $-\infty$ .

In generale una successione non ha un comportamento asintotico come quelli descritti, perché non è detto che sia monotona. Per esempio la successione $\left\langle(-1)^k\right\rangle_0^{+\infty}=1,-1,1,-1,...$ , vale 1 se $k$ è pari, -1 se $k$ è dispari, quindi oscilla senza convergere, nemmeno all’infinito. Invece la successione $\left\langle(-2)^k\right\rangle_0^{+\infty}$ , per $k=N$ oscilla fra l’infinito positivo e quello negativo, a seconda della parità di $N$ . Un comportamento ancora diverso è quello della successione $1,2,1,3,1,4,1,5...$ , che alterna il comportamento convergente,a quello divergente, a seconda dell’indice. In conclusione, cerchiamo un criterio da applicare (anche) alle successioni non monotone, per identificarne il comportamento asintotico in modo stringente.

Criterio per le successioni esponenziali¶

Teorema. Una successione del tipo $y_k=aq^k$ , con $a$ e $q$ positivi

converge a zero se $q<1$

converge ad $a$ , se $q=1$

diverge positivamente, se $q>1$

Il primo caso si dimostra in riferimento al terzo caso. Infatti $q^N=\frac{1}{(1/q)^N}$ , con $\frac{1}{q}>1$ . Poiché $\left(\frac{1}{q}\right)^N$ diverge (vedi terzo caso), allora $q^N$ è un infinitesimo. Il secondo caso è banale. Nel terzo caso, poiché $q>1$ , possiamo scrivere come $q=1+p\ (p>0)$ . Quindi $q^k=(1+p)^k>kp$ . Allora $q^N>Np$ , che è un infinito positivo, per cui, a maggior ragione, anche $q^N$ lo è.

Criterio del rapporto e gerarchia di infiniti¶

Immaginiamo che il rapporto fra due termini successivi in una successione a termini positivi $\frac{y_k}{y_{k-1}}$ sia asintoticamente uguale a un numero standard $q$ , cioè che valga $\frac{y_N}{y_{N-1}}\approx q$ .

Se $q>1$ , la successione diverge positivamente.
Se $q<1$ la successione converge a zero,
mentre nulla si può dire se $q=1$ , perché se il rapporto è indistinguibile da 1, non vuol dire che sia uguale a 1.

Proviamo questo criterio sulla successione $y_k=\frac{2^k}{k^2}$ , che vale all’infinito $y_k=\frac{2^N}{N^2}$ . Il rapporto da analizzare è:

$\frac{y_N}{y_{N-1}}=\frac{2^N/N^2}{2^{N-1}/(N-1)^2}= \frac{2(N-1)^2}{N^2}\sim\frac{2N^2}{N^2}=2$

Quindi la successione $y_k=\frac{2^k}{k^2}$ diverge positivamente.

Una conseguenza di questo comportamento asintotico è che $2^k$ è un infinito di ordine superiore a $k^2$ . Anzi, si può dimostrare, più in generale, che se $a>1$ , allora $a^N$ è un infinito di ordine superiore rispetto a $N^p$ : l’esponenziale, se la base è maggiore di 1, è un infinito di ordine superiore rispetto a qualsiasi potenza con la stessa base.

Per capire quali successioni hanno un comportamento asintotico superiore ad altre, proviamo alcuni confronti. Per esempio confrontiamo $a^N$ con $N!$ , usando il criterio del rapporto per la successione $y_k=\frac{a^k}{k!}$ . Abbiamo

$\frac{y_N}{y_{N-1}}=\frac {a_N/N!}{a^{N-1}/(N-1)!}=\frac{a}{N}\approx 0<1.$

Poiché il rapporto converge a zero, il denominatore, cioè $N!$ , è un infinito di ordine superiore.

Effettuati tutti i confronti, la gerarchia in ordine crescente risulta: $N^p, a^N, N!, N^N$ .

Note

Il criterio del rapporto non vale al contrario: se la successione diverge non è detto che il rapporto sia $q>1$ e se converge a zero non è detto che sia $q<1$ . C’è infatti il rischio che il rapporto risulti indistinguibile da 1, come nei casi di $y_k=k$ e $z_k=1/k$

Criterio della radice¶

A volte si ottengono utili indicazioni sul comportamento asintotico di una successione $\langle y_k\rangle_m^{+\infty}$ a termini positivi, calcolando la radice ennesima dei termini infiniti $y_N$ .

Se per ogni $N$ si ha $\sqrt[N]{y_n}\approx q$ , allora

se $q>1, y_k$ diverge positivamente
se $q<1, y_k$ converge a zero

La dimostrazione di questo criterio, che omettiamo, fa riferimento al criterio delle successioni esponenziali.

Criterio del rapporto fra le differenze¶

Il criterio riguarda le successioni che sono quozienti di successioni con lo stesso carattere.

Se $\langle y_k\rangle_m^{+\infty}$ e $\langle z_k\rangle_m^{+\infty}$ sono successioni entrambe divergenti o entrambe convergenti a zero e se la successione $\left\langle\frac{\Delta y_k}{\Delta z_k}\right\rangle_m^{+\infty}$ ha un comportamento asintotico regolare, cioè converge o diverge, allora anche la successione $\left\langle\frac{y_k}{z_k}\right\rangle_m^{+\infty}$ ha lo stesso comportamento asintotico, cioè : $\frac{y_N}{z_N}=\frac{\Delta y_N}{\Delta z_N}$ . La regola vale se le differenze al denominatore hanno tutte lo stesso segno

Per fare un esempio, consideriamo la successione $y_k=\frac{2^k}{k}$ , che è data dai quozienti di due successioni entrambe divergenti. La regola ci dice che siccome $\frac{\Delta y_n}{\Delta z_N}=\frac{2^N}{1}=2^N=+\infty$ , allora anche $y_N=\frac{y_N}{z_N}=\frac{2^N}{N}\sim 2^N=+\infty$

La regola è utile quando la successione asintoticamente è un rapporto fra due infiniti o fra due infinitesimi. Allora si può provare a mettere in rapporto le differenze del numeratore con le differenze del denominatore. Se questo rapporto risulta infinito oppure infinitesimo, anche la successione di partenza ha lo stesso carattere.

La regola si spiega graficamente. Supponiamo che la successione sia il rapporto fra $y_k$ e $z_k$ , entrambe divergenti e con le differenze $\Delta z_k$ positive e che il rapporto fra le differenze converga: $\frac{\Delta y_N}{\Delta z_N}\approx a$ . Mostriamo allora che converge anche $\frac{y_N}{z_N}\approx a$ .

La regola del rapporto fra differenze nel caso in cui le due successioni

divergano

Immaginiamo di fissare nel piano cartesiano i punti $(z_k, y_k)$ . Il grafico che risulta è una spezzata che si prolunga verso destra, a causa delle differenze positive al denominatore. I segmenti di spezzata hanno pendenze date dai vari $\frac{\Delta y_N}{\Delta z_N}$ e se queste pendenze all’infinito convergono, allora uno zoom non standard puntato sull’origine visualizza una semiretta di pendenza $a$ che è indistinguibile da una semiretta uscente dall’origine. Per questo vale asintoticamente che $\frac{y_n}{z_n}$ . Il fatto che la semiretta sembri partire dall’origine dipende dalla visualizzazione che ci dà lo zoom non standard, come se fosse lontano all’infinito.

La regola del rapporto fra differenze nel caso in cui le due successioni convergano

Lo stesso ragionamento si può fare se le due successioni convergono a zero, utilizzando questa volta un microscopio non standard.

Sperimentiamo la regola sul rapporto $y_k=\frac{\ln k}{k}$ . Il rapporto delle differenze all’infinito ci dà

$\frac{\Delta \ln N}{\Delta N}=\frac{\ln(N+1)-\ln N}{1}=\ln\frac{N+1}{N}\approx\ln 1=0$

Ne concludiamo che $\ln N$ è un infinito di ordine inferiore a $N$ .

Convergenza e divergenza delle funzioni¶

Una funzione a dominio continuo può assumere il valore infinito agli estremi degli intervalli in cui è definita. In questo caso diremo che la funzione diverge. Vi sono funzioni che divergono per $x=\infty$ , altre che divergono quando $x$ appartiene alla monade di un numero finito. Vi sono invece funzioni che all’infinito, oppure quando $x$ si avvicina indefinitamente ad un dato numero finito, assumono valori sempre più vicini a un valore finito. In questo caso si dice che convergono. Per studiare i dettagli, iniziamo da qualche esempio.

Funzioni esponenziali¶

Abbiamo già visto alcuni esempi di questo comportamento delle funzioni. Prendiamo per esempio, $f(x)= a^x$ , con $a>1$ : diverge positivamente per $x=+\infty$ mentre converge a zero per $x=-\infty$ . Si può anche dire che $a^x$ diverge positivamente se x diverge positivamente ed è infinitesima se x diverge negativamente.

Il comportamento asintotico di $a^x$

Potremo quindi scrivere sinteticamente per questi due casi: $f(+\infty)=+\infty \mbox{ e }f(-\infty)\approx 0$ , e quindi, per esempio: $2^{+\infty}=+\infty\mbox{ e } 2^{-\infty}\approx 0$

Ancora, una funzione si dice convergere a zero per x che diverge positivamente se per x infinito positivo si ha che f(x) è un infinitesimo. Una funzione si dice che diverge positivamente per x che diverge negativamente se per x infinito negativo si ha che f(x) è un infinito positivo.

Le funzioni divergenti non è detto che divergano solo se diverge la variabile. Vi sono funzioni il cui dominio esclude particolari valori di x, per esempio $f(x)=\frac{1}{x^2-4}$ , definita per tutti gli x, tranne $x=\pm2$ . In questi casi ci si chiede quale comportamento abbia la funzione se x assume valori nella monade dei numeri esclusi. Nel nostro esempio, si tratta di calcolare $f(2\pm \delta)\mbox{ e }f(-2\pm\delta)$ , con $\delta$ infinitesimo non nullo. Uno dei calcoli è $f(2+\delta)=\frac{1}{(2+\delta)^2-4}=\frac{1}{4+4\delta+\delta^2-4}= \frac{1}{4\delta+\delta^2}\sim\frac{1}{4\delta}$ e il risultato è un infinito positivo o negativo, a seconda del segno di $\delta$ . Supponiamo per semplicità che $\delta$ sia positivo, allora avremo $f(2+\delta)=+\infty\mbox{ e } f(2-\delta)=-\infty$ . Abbiamo quindi una funzione discontinua, che diverge (positivamente o negativamente, a seconda dei numeri che si considerano) quando la $x$ si approssima ai valori $+2$ e $-2$ .

In questi casi possiamo sottintendere $\delta$ così: $f(2+)=+\infty\mbox{ e }f(2-)=-\infty$ . Nel primo caso si intende dire che ci approssimiamo a $x=2$ per valori maggiori di $2$ (o da destra), nel secondo caso per valori minori (da sinistra).

Logaritmi¶

Un secondo esempio di funzione divergente per $x$ che non diverge è la funzione logaritmo, che diverge negativamente per gli $x$ infinitesimi positivi, oltre a divergere positivamente per $x$ che diverge positivamente. Scriveremo quindi: $\log_a(0+)=-\infty\mbox{ e }\log_a(+\infty)=+\infty\ (a>1)$ .

Funzioni circolari¶

Il seno e il coseno sono funzioni continue e per x divergente mantengono un comportamento irregolare: oscillante fra i valori $-1$ e $1$ . Per esempio, la funzione seno vale zero negli infiniti positivi del tipo $N\pi$ , con $N$ ipernaturale, mentre vale $1$ negli infiniti positivi del tipo $\frac{\pi}{2}+2N\pi$ .

Il comportamento asintotico di $\tan x$

Per la tangente, i punti interessanti sono del tipo $\frac{\pi}{2}+k\pi$ . Poiché la funzione è periodica, consideriamo solo $\frac{\pi}{2}$ . $\tan\left(\frac{\pi}{2}-\right)=+\infty$ e $\tan\left(\frac{\pi}{2}+\right)=-\infty$ . Invece per $x$ che diverge la tangente ha un comportamento asintotico irregolare.

Il comportamento asintotico delle funzioni arcoseno e arcocoseno ...non esiste perché le funzioni sono continue e definite in un intervallo chiuso. Quindi mancano i punti di discontinuità nell’intervallo e mancano i punti infiniti per i quali studiare il comportamento asintotico. Invece l’arcotangente assume valori infinitamente vicini a $\pi/2$ per x che diverge positivamente e assume valori infinitamente vicini a $-\pi/2$ per x che diverge negativamente: $\arctan(+\infty)\approx\pi/2\mbox{ e }\arctan(-\infty)\approx\-pi/2$ . Graficamente, questo significa che, grazie a un telescopio non standard posto orizzontalmente in $\frac{\pi}{2}$ , il grafico della funzione arcotangente è indistinguibile da due rette orizzontali ( $y=\pm\pi/2$ ) e per distinguere il grafico della funzione dalle rette occorre valersi anche di microscopi non standard.

Un caso notevole¶

Grafico di $f(x)=\frac{\sin x}{x}$

La funzione $y=\frac{\sin x}{x}$ non è definita in $x=0$ , quindi è interessante studiare il suo comportamento per valori di x infinitesimi non nulli. Abbiamo già visto in esempi precedenti che per $x\approx 0\mbox{, }\sin x\sim x$ . Quindi avremo che per $x\approx 0\mbox{, }\frac{\sin x}{x}\approx 1$ . Mettendo la funzione in grafico, vediamo che per x che diverge la funzione è asintotica a zero, perché il denominatore diventa sempre più grande in valore assoluto e quindi il rapporto $\frac{\sin}{x}$ dà risultati sempre più piccoli. Invece per valori di x molto piccoli, diversi da zero ma prossimi allo zero, il grafico della funzione si approssima a 1. Quando una funzione ha questo tipo di comportamento: $f(a\pm\delta)\approx s$ , possiamo esprimerci anche in questo modo: per $x\approx a \mbox{ e }x\ne a\mbox{ }f(x)\approx s$ oppure, sinteticamente, $f(a\pm)\approx s$ , che nel nostro caso diventa $\frac{\sin (0\pm)}{0\pm}\approx 1$ .

Per tornare al comportamento della funzione, osserviamo che per $x=0$ manca il valore della funzione, perché in quel punto non è definita, ma il valore che manca è prevedibile sulla base delle considerazioni appena fatte. Possiamo quindi risolvere la discontinuità e imporre $f(0)=1$ , aggiungendo il risultato mancante. In conclusione con il nostro intervento ridefiniamo la funzione in questo modo:

$f(x)=\begin{cases} \frac{sin x}{x}, & \mbox{se }x\ne 0 \\ 1, & \mbox{se }x=0\end{cases}$

Regola di de L’Hôpital¶

Il caso precedente introduce una regola importante, che permette di valutare, nei casi dubbi, il comportamento asintotico del rapporto fra due funzioni. Nell’illustrare questa regola ci accorgeremo di percorrere ragionamenti simili a quelli visti a proposito del criterio del rapporto fra differenze, nelle successioni.

La Regola di de L’Hôpital

$y=f(x)$ e $z=g(x)$ sono due funzioni, definite per esempio su un intervallo illimitato a destra, con $f(+\infty)=+\infty\mbox{ e }g(+\infty)=+\infty$ , sono entrambe derivabili, con $g'(x) \neq 0$ . Se vale $\frac{f'(+\infty)}{g'(+\infty)}\approx s$ , allora il quoziente delle funzioni ha lo stesso comportamento asintotico del quoziente delle derivate, cioè

$\frac{f(+\infty)}{g(+\infty)}=\frac{f'(+\infty)}{g'(+\infty)}\approx s.$

Per ogni valore di $x$ consideriamo le coppie $(z,y)=(g(x), f(x))$ e mettiamo in grafico i punti relativi, con gli $z$ come ascisse: ne risulterà una certa curva nel piano cartesiano. Il grafico si sviluppa verso destra perché $g(x)$ è crescente (la sua derivata è positiva). Si tratta quindi del grafico di una nuova funzione, che per un certo valore $x$ avrà pendenza

$\frac{dy}{dz}=\frac{f'(x)dx}{g'(x)dx}=\frac{f'(x)}{g'(x)}\approx s$ .

Nel disegno, il telescopio visualizza all’infinito che il grafico della curva è indistinguibile da una semiretta che ha pendenza $s$ . Osservando l’origine con uno zoom non standard, quindi da una distanza infinita, si vede la semiretta come se uscisse dall’origine, indistinguibile da una retta di equazione $y=sz$ . Questo determina l’uguaglianza all’infinito fra il rapporto delle funzioni e il rapporto dei differenziali.

Nel nostro esempio abbiamo supposto $g(x)$ crescente, ma la dimostrazione vale anche se $g'(x)<0$ .

Si può applicare lo stesso ragionamento anche se le due funzioni convergono a zero quando x diverge all’infinito e anche quando x converge nella monade di un numero standard.

Esempio¶

Studiamo il comportamento asintotico della funzione $f(x)=x\ln x$ nello zero. Si tratta di una forma indeterminata perché $f(0+)=(0+)\ln(0+)=(0+)(-\infty)$ . Riscriviamo la funzione come un rapporto: $x\ln x=\frac{\ln x}{1/x}$ . In questo modo la forma indeterminata diventa un quoziente fra infiniti. La derivata del denominatore è $-\frac{1}{x^2}$ , cioè è sempre negativa e possiamo applicare la regola di De L’Hôpital per determinare il comportamento asintotico della funzione: $\frac{D\ln x}{D1/x}~=~\frac{1/x}{-\frac{1}{x^2}}=-x$ , che diventa infnitesimo per $x=0+$ . Quindi $f(0+)=0+\ln(0+)\approx 0$

Gli asintoti¶

Una retta è un asintoto per una funzione se i loro due grafici sono indistinguibili a una distanza infinita dall’origine. Per esempio l’asse y è un asintoto per le funzioni logaritmiche e la retta $y=\frac{\pi}{2}$ è un asintoto per l’arcotangente.

Quadro dei comportamenti asintotici¶

In sintesi, una funzione a dominio continuo può avere questi comportamenti:

$f(a+)\approx s: \quad\mbox{ se }\delta>0\mbox{ allora }f(a+\delta)\approx s$
$f(a+)=+\infty: \mbox{ se }\delta>0\mbox{ allora }f(a+\delta)=+\infty$
$f(a+)=-\infty: \mbox{ se }\delta>0\mbox{ allora }f(a+\delta)=-\infty$
$f(a-)\approx s:\quad\mbox{ se }\delta>0\mbox{ allora }f(a-\delta)\approx s$
$f(a-)=+\infty: \mbox{ se }\delta>0\mbox{ allora }f(a-\delta)=+\infty$
$f(a-)=-\infty: \mbox{ se }\delta>0\mbox{ allora }f(a-\delta)=-\infty$
$f(a\pm)\approx s:\quad\mbox{ se }\delta>0\mbox{ allora }f(a\pm\delta)\approx s$
$f(a\pm)=+\infty: \mbox{ se }\delta>0\mbox{ allora }f(a\pm\delta)=+\infty$
$f(a\pm)=-\infty: \mbox{ se }\delta>0\mbox{ allora }f(a\pm\delta)=-\infty$
$f(+\infty)\approx s:\quad\mbox{ se }x=+\infty\mbox{ allora }f(x)\approx s$
$f(+\infty)=+\infty:\quad\mbox{ se }x=+\infty\mbox{ allora }f(x)=+\infty$
$f(+\infty)=-\infty:\quad\mbox{ se }x=+\infty\mbox{ allora }f(x)=-\infty$
$f(-\infty)\approx s:\quad\mbox{ se }x=-\infty\mbox{ allora }f(x)\approx s$
$f(-\infty)=+\infty:\quad\mbox{ se }x=-\infty\mbox{ allora }f(x)=+\infty$
$f(-\infty)=-\infty:\quad\mbox{ se }x=-\infty\mbox{ allora }f(x)=-\infty$

Asintoti verticali, orizzontali, obliqui.¶

Non è detto che una funzione abbia degli asintoti, ma se ne ha possono essere di tre tipi e possono anche essere tutti e tre presenti per la stessa funzione.

Asintoti verticali¶

Un asintoto verticale è una retta di equazione $x=c$ , per cui la funzione assume valori infiniti positivi o negativi se $x$ si avvicina infinitamente a $c$ . Questo accade per le funzioni logaritmo, per le funzioni tangente e per tutte le funzioni per le quali è possibile uno dei casi seguenti:

$f(c+)=+\infty, f(c+)=-\infty, f(c-)=+\infty, f(c-)=-\infty, f(c\pm)=+\infty, f(c\pm)=-\infty$ .

Una funzione può avere anche infiniti asintoti verticali.

Asintoti orizzontali¶

Gli asintoti orizzontali sono le rette di equazione $y=c$ e possono valere le scritture:

$f(+\infty)\approx c,\quad f(-\infty)\approx c,\quad f(\pm\infty)\approx c$ .

Il primo caso è un asintoto orizzontale destro (per es. $2^x$ ), il secondo è un asintoto orizzontale sinistro (per es. $0.5^x$ ). Una funzione può avere anche entrambi i tipi, ma ovviamente non più di due.

Asintoti obliqui¶

Una retta del tipo $y=mx+q\mbox{, con }m\ne 0$ è un asintoto obliquo per la funzione f(x) se $f(x)\approx mx + q$ per valori infiniti di x. L’asintoto obliquo può essere destro, per $x=+\infty$ , come nel disegno, o sinistro $x=-\infty$ .

Il disegno mostra che la retta, osservata nell’origine con lo zoom non standard, passa per l’origine anche se $q\ne 0$ , perché da una distanza infinita $mx+q \sim mx$ . Se la retta è un asintoto obliquo, per esempio destro, per $x=+\infty, f(x)\sim mx+q \sim mx$ e quindi $\frac{f(x)}{x}\approx m$ . All’infinito, la funzione è quindi indistinguibile da due rette: y=mx+q e y=mx . Le due rette differiscono in ordinata per q e quindi la funzione è infinitamente vicina alla prima retta e differisce dalla seconda per $q\approx f(x)-mx$ .

Quindi l’asintoto obliquo esiste a queste ben precise condizioni. Ovviamente la funzione può andare all’infinito anche senza che vi sia un asintoto obliquo. Se invece troviamo che c’è un asintoto obliquo, non è detto che q sia diverso da zero.

Esempi¶

Studia il comportamento asintotico di $y=\frac{x^3+1}{x^2-5x+6}$ .

Il denominatore si scompone in $(x-2)(x-3)$ , quindi la funzione non è definita per $x~=~2, x~=~3$ . Studiamo in questi punti il comportamento asintotico.

$f(2+\delta)=\frac{(2+\delta)^3 +1}{(2+\delta-2)(2+\delta-3)}\sim \frac{9}{-\delta}=\infty$ .

Quindi la retta $x=2$ è un asintoto verticale. Quando $x$ si avvicina a 2 da sinistra cioè $x~<~2~\rightarrow~\delta~<~0$ il valore della funzione cresce a $+\infty$ . Quando $x$ si avvicina a 2 da destra cioè $x>2 \rightarrow \delta>0$ , il valore della funzione decresce a $-\infty$ .

Vediamo cosa succede per $x=3\\ f(3-)=f(3-\delta)= \frac{(3-\delta)^3+1}{(3-\delta-2)(3-\delta-3)}\sim\frac{-28}{\delta}= -\infty\\ f(3+)=f(3+\delta)= \frac{(3+\delta)^3+1}{(3+\delta-2)(3+\delta-3)}\sim\frac{28}{\delta}=+\infty$ .

Quindi anche $x=3$ è asintoto verticale, ma questa volta il grafico della funzione va a $-\infty$ avvicinandosi alla retta da sinistra e va a $+\infty$ da destra.

Vediamo cosa succede agli estremi dell’intervallo: per $x=\pm \infty$ .

Poiché $f(x)=\frac{x^3+1}{x^2-5x+6}\sim\frac{x^3}{x^2}=x$ , $f(-\infty)=-\infty \mbox{ e }f(+\infty)=+\infty$ . Quindi la funzione all’infinito è un infinito.

Vediamo se nell’andare all’infinito, la funzione ha un asintoto obliquo. A sinistra: $f(x)$ all’infinito è indistinguibile da una retta di pendenza $m=1$ , e quindi di equazione $y=x+q$ . Per verificare se $q\ne 0$ studiamo il comportamento asintotico di

$q=f(x)-x=\frac{x^3+1}{x^2-5x+6}-x= \frac{x^3+1-x^3+5x^2+6x}{x^2-5x+6}= \frac{5x^2-6x+1}{x^2-5x+6}\sim\frac{5x^2}{x^2}=5$ .

Quindi l’asintoto sinistro è la retta $y=x+5$ . Anzi, poiché i calcoli non cambiano nella ricerca di un asintoto destro, la stessa retta è anche asintoto obliquo destro. Per concludere, la funzione ha due asintoti verticali e un asintoto obliquo sinistro e destro.

Studia il comportamento asintotico di $f(x)=\frac{1}{1-e^x}$ .

La funzione non è definita per $x=0$ perché $e^0$ annulla il denominatore. Quindi studiamo il comportamento asintotico in 0. $f(0+\delta)=\frac{1}{1-e^\delta}$ è un infinito negativo se $\delta>0$ , ma positivo se $\delta<0$ . Infatti $f(\delta)=f(0+)=\frac{1}{1-e^\delta}=\frac{1}{0-}=-\infty$ e $f(-\delta)=f(0-)=\frac{1}{1-e^{-\delta}}=\frac{1}{0+}=+\infty$ .

Se $x$ è un infinito: $f(-\infty)=\frac{1}{1-e^{-\infty}}\approx\frac{1}{1-0}=1$ e $f(+\infty)=\frac{1}{1-e^{+\infty}}= \frac{1}{1-(+\infty)}=\frac{1}{-\infty}=0-$ Quindi l’asse x è un asintoto orizzontale destro, mentre la retta $y=1$ è un asintoto orizzontale sinistro. Per concludere ci sono due asintoti orizzontali ed uno verticale.

Studia il comportamento asintotico in zero di $f(x)=\frac{\sin^3 x - x^3}{\tan^5 x}$ .

Il numeratore e il denominatore diventano infinitesimi per $x\approx 0$ , quindi la funzione diventa una forma indeterminata, che proviamo a risolvere applicando la regola di De l’Hôpital. $\frac{D(\sin^3 x - x^3)}{D(\tan^5 x)}= \frac{3\sin^2 x\cos x-3x^2}{5\tan^4 x(1+\tan^2 x)}$ . È ancora il quoziente di due infinitesimi, con espressioni più complicate. Rinunciamo a sviluppare di nuovo la stessa regola e riprendiamo da capo, trasformando la funzione. $f(x)=\frac{\sin^3 x - x^3}{\tan^5 x}= \frac{\sin^3 x - x^3}{\sin^5 x}\cos^5 x$ . Il vantaggio è che per $x$ infinitesimo $\cos^5 x\sim 1$ , quindi possiamo studiare il comportamento asintotico solo di $g(x)=\frac{\sin^3 x - x^3}{\sin^5 x}$ . Trattandosi del rapporto fra due infinitesimi, applichiamo l’Hôpital e così facciamo ogni volta che il risultato ottenuto è un rapporto fra infinitesimi (il simbolo $\overset{H}{=}$ indica che si è usata la regola di de l’Hôpital):

$\frac{D(3\sin^2 x-3x^2)}{D(5\sin^4 x)}=\frac{6\sin x \cos^2 x-3\sin^3 x-6x}{20\sin^3x\cos x}\sim \frac{6\sin x\cos^2 x -3\sin^3 x-6x}{20\sin^3 x}\overset{H}{=}\\ \overset{H}{=}\frac{6\cos^3 x-12\sin^2 x\cos x-9\sin^2 x \cos x- 6}{60\sin^2\cos x}\sim \frac{2\cos^3 x-7\sin^2x\cos x-2}{20\sin^2 x}\overset{H}{=}\\ \overset{H}{=} \frac{-6\cos^2 x\sin x-14\sin x\cos^2 x+7\sin^3 x}{40 \sin x\cos x}\sim\frac{-6\cos^2x-14\cos^2 x+7\sin^2 x}{40\cos x }\sim\frac{-20}{40}=-\frac{1}{2}$

$\frac{D(3\sin^2 x-3x^2)}{D(5\sin^4 x)}= \frac{6\sin x \cos^2 x-3\sin^3 x-6x}{20\sin^3x\cos x}\sim \frac{6\sin x\cos^2 x -3\sin^3 x-6x}{20\sin^3 x}\overset{H}{=}\\ \overset{H}{=} \frac{6\cos^3 x-12\sin^2 x\cos x-9\sin^2 x \cos x- 6}{60\sin^2\cos x}\sim \frac{2\cos^3 x-7\sin^2x\cos x-2}{20\sin^2 x}\overset{H}{=}\\ \overset{H}{=} \frac{-6\cos^2 x\sin x-14\sin x\cos^2 x+7\sin^3 x}{40 \sin x\cos x}\sim \frac{-6\cos^2x-14\cos^2 x+7\sin^2 x}{40\cos x }\sim\frac{-20}{40}= -\frac{1}{2}$

Nello sviluppare i denominatori abbiamo sempre tenuto conto che $\cos x\sim 1$ e per questo abbiamo inserito il simbolo di $\sim$ al posto =. In conclusione, la funzione assume valori sempre più prossimi a $-\frac{1}{2}$ per $x$ sempre più prossimo a zero.

Note

Nell’applicare la regola di de l’Hôpital alla funzione $g(x)$ avremmo potuto scegliere anche una strada sbagliata: $\frac{D(\sin^3 x - x^3)}{D(\sin^5 x)}= \frac{3\sin^2 x \cos x-3x^2}{5\sin^4 x \cos x}\overset{?}{\sim} \frac{3\sin^2 x-3x^2}{5\sin^4 x}$ , dato che $\cos x\sim 1$ .

Si tratta ancora di una forma indeterminata, alla quale applichiamo di nuovo la stessa regola.

$\frac{D(3\sin^2 x-3x^2)}{D(5\sin^4 x)}= \frac{6\sin x \cos x-6x}{20\sin^3x\cos x}\overset{?}{\sim} \frac{6\sin x -6x}{20\sin^3 x}= \frac{3\sin x-3x}{10\sin^3 x}\overset{H}{=} \frac{3\cos x-3}{30\sin^2 x\cos x}\sim\\ \sim \frac{\cos x-1}{10 \sin^2 x}\overset{H}{=} \frac{-\sin x}{20\sin x \cos x}\sim\frac{-1}{20}$

Il risultato è ottenuto applicando ripetutamente l’Hôpital e valutando che $\cos x\sim 1$ per x infinitesimo. L’errore sta nell’applicare questa valutazione anche nel punto sbagliato (che è segnato con ”?”), cioè al numeratore all’interno di una differenza. In quel punto il contributo di $\cos x$ non può essere eliminato, come non può esserlo all’inizio della seconda riga. Un fattore asintoticamente indistinguibile da 1 può essere trascurato solo se moltiplica o divide tutta l’espressione, come avviene nell’individuare g(x) e per tutti i denominatori dell’esercizio.

Per chiarire, studiamo in zero il comportamento asintotico di $\frac{x(1+x)+2x^2-x}{x^2}$ . Considerando $1+x \sim 1$ , la somma al numeratore si riduce e la frazione poi si semplifica, risultando infinitamente vicina a 2. Se invece si svolgono con pazienza tutti i calcoli algebrici, al termine delle semplificazioni, la frazione risulta uguale a 3 ed è il risultato corretto. La valutazione $1+x \sim 1$ non va fatta in quel contesto perché con quella sostituzione si provoca la scomparsa di termini di secondo grado che sono gli unici ad influire sulla somma algebrica, dato che che quelli di primo grado si eliminano algebricamente.

Note

La regola di de l’Hôpital è di grande aiuto nell’abbassare il grado delle funzioni polinomiali, mentre diventa una complicazione in molti altri casi. Per questi occorre uno strumento più potente, cioè la regola di Taylor che si vedrà più avanti.

Studia il comportamento asintotico di $y=x^2\left(e^\frac{1}{x}-1\right)$

La funzione è definita per ogni $x\ne 0$ . In $f(0+)$ la funzione assume la forma indeterminata $f(0+)=(0+)(+\infty)$ . Per usare la regola di de l’Hôpital riscriviamo l’espressione della funzione e operiamo la sostituzione $t=1/x$ :

$f(x)=\frac{e^\frac{1}{x}-1}{\frac{1}{x^2}}=\frac{e^t-1}{t^2}$ .

Per $x=0+\to t=\frac{1}{0}=+\infty \to \frac{e^t-1}{t^2}=\frac{+\infty}{+\infty}$ . Applicando due volte la regola di de l’Hôpital, la forma indeterminata diventa $\frac{e^t}{2}$ , che è un infinito positivo. Dunque $f(0+)=+\infty$ , cioè l’asse y è un asintoto verticale. Invece $f(0-)=(0-)^2(e^\frac{1}{0-}-1)=(0+)(e^{-\infty}-1)=(0+)(0-1)=0-$ . Quindi il ramo sinistro della funzione si annulla per valori negativi quando x si approssima allo zero da sinistra, invece il ramo destro ha un asintoto verticale nell’asse y.

Gli asintoti di $f(x)=x^2\left(e^\frac{1}{x}-1\right)$ .

Per valori infiniti di x usando la stessa sostituzione si ha $t=0+$ e la funzione diventa

$\frac{e^{0+}-1}{(0+)^2}=\frac{(1+)-1}{0+}=\frac{0+}{0+}$ che è una forma indeterminata, da risolvere con l’aiuto della regola di de l’Hôpital:

$\frac{e^t-1}{t^2}\overset{H}{=}\frac{e^t}{2t}=\frac{e^{0+}}{2(0+)}\frac{1}{0+}=+\infty$ .

Per $x=-\infty$ , se si usa la stessa procedura, sia ha $f(-\infty)=-\infty$ . Quindi la funzione va all’infinito, agli estremi dell’intervallo di definizione.

Occorre ora verificare l’esistenza di eventuali asintoti obliqui. Per $x=+\infty$ :

$m=\frac{f(x)}{x}=x\left(e^\frac{1}{x}-1\right)=\frac{e^t-1}{t}\overset{H}{=}\frac{e^t}{1}=e^{0+}=1$ ,

dove si utilizza la solita regola in presenza di un rapporto fra due infinitesimi. Quindi l’asintoto obliquo esiste a destra ed ha pendenza 1. Per ricavare q:

$q=f(x)-mx=x^2\left(e^\frac{1}{x}-1\right)-x=\frac{e^t-1}{t^2}-\frac{1}{t}=\frac{e^t-1-t}{t^2}=\frac{e^{0+}-1-(0+)}{(0+)^2}=\\ =\frac{(1+)-1-(0+)}{0+}=\frac{(0+)-(0+}{0+}$ che è ancora una forma indeterminata.

Interveniamo con la regola di de l’Hôpital e otteniamo:

$\frac{e^t-1-t}{t^2}\overset{H}{=}\frac{e^t-1}{2t}\overset{H}{=}\frac{e^t}{2}=\frac{e^{0+}}{2}=\frac{1}{2}$ .

La retta che funge da asintoto è quindi $y=x+\frac{1}{2}$ e si può verificare che il risultato vale sia per l’asintoto obliquo destro che per quello sinistro.

In conclusione la funzione ha un asintoto verticale e un asintoto obliquo sia destro che sinistro.

L’asintoto obliquo “zoomato” nell’origine.

Il grafico riprende il disegno precedente, guardando l’origine con lo zoom che ingrandisce 250 volte. Si vede così che l’asintoto, osservato da grande distanza, sembra passare per l’origine: si mantiene il coefficiente angolare e si annulla l’intercetta all’origine, come illustrato nel 15.5.3.

Osservazione banale ma importante¶

La regola di de l’Hôpital si applica al rapporto fra due funzioni, ma è diversa dalla regola di derivazione del rapporto.

Confronta con attenzione le due regole:

de l’Hôpital: nei casi di indecisione e a determinate condizioni: comportamento asintotico di $\frac{f(x)}{g(x)}$ = comportamento asintotico di $\frac{Df(x)}{Dg(x)}$ .

Derivata: $\quad D\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}$ .

Riassunto¶

Le successioni possono avere all’infinito un comportamento regolare o irregolare. Una successione che all’infinito si avvicina ad un certo valore $s$ , si dice che converge a $s$ oppure che $s$ è il suo asintoto. Una successione che all’infinito raggiunge valori infiniti, si dice che diverge (positivamente o negativamente), oppure che diverge asintoticamente. Questi sono i comportamenti regolari.
Illustriamo 5 criteri che aiutano a stabilire se una successione ha un comportamento regolare e quale sia. Si costruisce così una gerarchia di comportamenti asintotici: $\ln N,N^p,a^N (a>1),n!, N^N$ è la scala degli infiniti, in ordine crescente.
Un asintoto per una funzione è una retta alla quale il grafico della funzione si avvicina indefinitamente. Studiare il comportamento asintotico di una funzione significa cercare se quella retta esiste quando la x si pone agli estremi dell’intervallo di definizione.
Vi sono asintoti orizzontali, verticali e obliqui e una funzione può averli tutti, oppure alcuni o nessuno. La casistica è riportata nel paragrafo 13.4.1.
Nel ricercare l’asintoto si ha spesso a che fare con i casi di indeterminazione. Per risolvere le forme indeterminate viene in aiuto la regola di de l’Hôpital, che assicura, solo se sono verificate determinate condizioni, che il rapporto fra due funzioni ha lo stesso comportamento asintotico del rapporto fra le loro derivate.

Esercizi¶

Calcolando i rapporti opportuni, dimostra la gerarchia dei comportamenti asintotici per le successioni. In particolare dimostra che il rapporto fra $N^N$ e $N!$ è asintotico al Numero di Nepero.
Applica il criterio della radice al rapporto già noto $y_k=\frac{2^k}{k^2}$
Descrivi il comportamento della funzione $a^x \mbox{ con }0<a<1$ , usando i termini specifici introdotti all’inizio del capitolo.
Spiega perché la tangente ha un comportamento asintotico irregolare per x che diverge.
Svolgi autonomamente gli esercizi svolti negli esempi, ricavando anche i risultati che il testo sottointende.