Derivata delle funzioni esponenziali e derivate connesse

Nel Cap.3 abbiamo visto che per le progressioni geometriche del tipo y_k=q^k il tasso di variazione è proporzionale alla successione stessa: \Delta q^k=(q-1)q^k, e che nel caso in cui q sia 2, allora è semplicemente uguale ad essa: \Delta 2^k=2^k.

Le funzioni esponenziali y=a^x corrispondono nel continuo alle progressioni geometriche nel discreto. Analizzando le tangenti di y=2^x nel Cap.8, abbiamo visto che il grafico delle pendenze delle tangenti accompagna il grafico della funzione, senza tuttavia coincidere. In questo capitolo concentriamo lo sguardo sulle funzioni esponenziali, per cercare

  • quale sia il numero a che rende l’espressione della derivata uguale a quella della funzione: Da^x=a^x
  • se esistono altre funzioni, oltre alle esponenziali, tali che \frac{df(x)}{dx}=f(x).

Derivata delle funzioni esponenziali

Iniziamo dal differenziale: da^x=a^{x+dx}-a^x=a^xa^{dx}-a^x=a^x(a^{dx}-1). Quindi la derivata è \frac{da^x}{dx}=\frac{a^{dx}-1}{dx}a^x. Perché la derivata risulti almeno proporzionale alla funzione, occorre che la derivata esista e che il coefficiente \frac{a^{dx}-1}{dx} non dipenda da dx ma solo da a, in modo da avere una parte standard ben precisa. Così possiamo definire provvisoriamente Da^x=c(a)a^x.

Il coefficiente c(a)=\frac{a^{dx}-1}{dx}, è stato ricavato applicando la proprietà caratteristica degli esponenziali: f(x+dx)=f(x)f(dx), per cui

\frac{df(x)}{dx}=\frac{f(x)f(dx)-f(x)}{dx}=\frac{f(dx)-1}{dx}f(x)=\frac{f(dx)-f(0)}{dx}f(x)=\frac{df(0)}{dx}f(x)=f'(0)f(x),

dato che per gli esponenziali f(0)=1. Dunque la derivata di un funzione esponenziale è direttamente proporzionale alla funzione e il coefficiente di proporzionalità è la derivata stessa, calcolata nel punto x=0

Cerchiamo adesso di capire come può essere che il coefficiente c(a) sia 1, così da raggiungere l’obiettivo che la derivata e la funzione abbiano la stessa espressione. Immaginiamo che a sia tale che \frac{a^{dx}-1}{dx}\sim 1. Allora a^{dx}-1\sim dx \to a^{dx}\sim 1+dx \to a\sim(1+dx)^{\frac{1}{dx}}.

C’è un numero che corrisponde a questa definizione ed è il numero e, la cui parte standard è e=st\left[(1+\epsilon)^\frac{1}{\epsilon}\right]. Si tratta del Numero di Nepero, la base dei logaritmi naturali, il cui valore approssimato è 1,71828... Più avanti, nella deduzione analitica del risultato che stiamo cercando, il numero e viene descritto con maggiori dettagli.

Quindi, se la funzione esponenziale è e^x\mbox{ , allora }De^x=e^x. Invece per determinare la derivata se a\ne e, dobbiamo cercare altre informazioni su c(a) ricorrendo alle proprietà degli esponenziali e alla regola della derivata del prodotto. Abbiamo:

D(ab)^x=c(ab)(ab)^x\\ D(ab)^x=Da^xb^x=c(a)a^xb^x+a^xc(b)b^x =[c(a)+c(b)](ab)^x

Ne risulta che c(ab)=c(a)+c(b). Abbiamo individuato la proprietà caratteristica del coefficiente c(a) : si comporta come una funzione logaritmica pura c(a)=\log_Ba, per cui Da^x=a^x\log_Ba.

Per coerenza con la regola appena trovata nel caso di e^x, l’unica base possibile per il logaritmo è B=e, perché \ln e = 1. Concludiamo quindi:

Da^x=a^x\ln a\quad. In particolare: De^x=e^x.

Note

Un’altra dimostrazione della regola Da^x viene proposta negli esercizi.

Unicità del risultato

Nel caso delle differenze abbiamo visto che \Delta 2^k=2^k e che lo stesso vale per y_k=c2^k. Anche nel continuo, l’esponenziale f(x)=e^x non è l’unica f(x) per cui vale \frac{df(x)}{dx}=f(x), perché avviene lo stesso per le funzioni f(x)=ce^x. Quindi le funzioni identiche alla propria derivata sono infinite e per ora sappiamo che hanno la stessa forma esponenziale ce^x. La domanda che ci poniamo è se non vi siano altri tipi di funzione con la stessa proprietà. Per capirlo procediamo dapprima costruendo il grafico di una di queste funzioni, le cui caratteristiche devono essere come quelle di ce^x, cioè

\frac{df(x)}{dx}=f(x) \mbox{ e }f(0)=c.

Infine, per raggiungere la certezza matematica dell’unicità della soluzione, dovremo approfondire la nostra conoscenza del numero e.

Costruzione grafica

tang_f'=f_12

Costruire il grafico di f(x)=ce^x: fasi 1 e 2.

tang_f'=f_34

Costruire il grafico di f(x)=ce^x: fasi 3 e 4.

  1. La funzione passa per il punto generico (x,f(x)) e la tangente per quel punto con pendenza f(x) è la retta che ha coefficiente angolare \frac{f(x)-0}{x-(x-1)}=f(x), che passa per i punti ((x-1),0) e (x,f(x)).
  2. Un secondo punto di tangente nota è il punto (0,c), dove la tangente è la retta di coefficiente angolare \frac{c-0}{0+1}. Questa passa per (0,c) \mbox{ e }(-1,0) .
  3. Ora consideriamo \Delta x>0 vicino all’origine. Il valore corrispondente y sulla tangente appena trovata approssima il grafico della funzione. Anche rispetto a questo nuovo punto costruiamo una tangente, che interseca l’asse orizzontale in \Delta x - 1.
  4. E si avanza così, verso destra (o anche verso sinistra), a piccoli passi \Delta x sull’asse x, per individuare sulla tangente un nuovo punto che approssima il grafico in (2\Delta x,f(2\Delta x)), che ci serve per disegnare una nuova tangente, sulla quale trovare un nuovo punto dopo esserci spostati a destra di un altro \Delta x, ecc. Come si vede, la costruzione approssima per segmenti tangenti il grafico di una funzione esponenziale e non c’è modo di costruire graficamente una funzione diversa a partire dalle due condizioni date.

Il procedimento grafico conduce a un risultato inevitabilmente approssimato operando nel continuo, come in questo caso. È invece un procedimento esatto se applicato alle differenze \Delta 2^k=2^k.

Delta_2^k=2^k

Costruzione per tangenti di 2^k

Infatti, nel disegno che mostra la costruzione, i punti (0,1) (1,2) (2,4) (3,8) ... si trovano sulle rette tangenti, tracciate come nel procedimento precedente, incrementando di 1 ad ogni passo il valore in ascissa. La base 2 nella successione y_k=2^k si comporta come la base e nella funzione f(x)=e^x.

Deduzione analitica

Dapprima concentriamo la nostra attenzione sul numero e per ricavare due utili proprietà.

Il numero e

La definizione usuale del numero di Eulero è e=st\left[\left(1+\frac{1}{N}\right)^N\right], con N ipernaturale infinito. Questo significa che la successione y_k=\left(1+\frac{1}{k}\right)^k individua nei suoi termini di ordine infinito valori situati nella monade di e. Per valori infiniti dell’indice, i termini della successione sono tutti finiti ed hanno la stessa parte standard: e. Assumiamo come vere queste due importanti proprietà e esaminiamo le loro conseguenze nel caso si usino numeri genericamente iperreali.

La prima conseguenza utile è che per qualsiasi s infinito positivo, non necessariamente iperintero, si ha \left(1+\frac{1}{s}\right)^s\approx e. Infatti, se s=\infty e chiamando N la parte intera di s: \lfloor s\rfloor=N ipernaturale, si ha:

N\le s<N+1 \quad\rightarrow\quad
\frac{1}{N+1}<\frac{1}{s}\le\frac{1}{N} \quad\rightarrow\quad
1+\frac{1}{N+1}<1+\frac{1}{s}\le1+\frac{1}{N}

Ne consegue:

\left(1+\frac{1}{N+1}\right)^N<
\left(1+\frac{1}{s}\right)^s\le
\left(1+\frac{1}{N}\right)^{N+1}

Il primo termine della doppia disuguaglianza appartiene alla monade di e. Infatti

\left(1+\frac{1}{N+1}\right)^{N}=
\frac{\left(1+\frac{1}{N+1}\right)^{N+1}}{\left(1+\frac{1}{N+1}\right)}
\approx\frac{e}{1}=e.

Poiché dalla definizione di e ricaviamo \left(1+\frac{1}{N+1}\right)^{N+1}\approx e e \left(1+\frac{1}{N+1}\right)\approx 1.

Per ragioni analoghe, anche l’ultimo termine della disuguaglianza appartiene alla monade di e. Infatti

\left(1+\frac{1}{N}\right)^{N+1}=
\left(1+\frac{1}{N}\right)^N\left(1+\frac{1}{N}\right)\approx e\cdot 1=e

Dunque anche il termine centrale \left(1+\frac{1}{s}\right)^s\approx e.

Si può dimostrare che lo stesso vale per qualsiasi s infinito positivo o negativo.

La seconda proprietà utile riguarda il numero \left(1+\frac{x}{s}\right)^s\mbox{, con }s=\pm \infty e x standard. Se x=0 risulta banalmente 1. Altrimenti sostituiamo ponendo y=\frac{s}{x}, che è un numero infinito al pari di s e s=xy. Risulta:

\left(1+\frac{x}{s}\right)^s=
\left(1+\frac{1}{y}\right)^{xy}=
\left[\left(1+\frac{1}{y}\right)^y\right]^x\approx e^x

In conclusione, per qualsiasi x:

s=\pm\infty \rightarrow \left(1+\frac{x}{s}\right)^s\approx e^x

Se una funzione coincide con la sua derivata allora è di tipo esponenziale

Le condizioni iniziali sono: \frac{df(x)}{dx}=f(x) \mbox{ e }f(0)=c. Prendiamo un numero x positivo (la dimostrazione non cambia nel caso negativo). Dividiamo l’intervallo 0 - x in un numero ipernaturale infinito N di parti uguali, ciascuna di ampiezza \delta=\frac{x}{N}, inserendo i punti x_0=0, \ x_1=\frac{x}{N},\  x_2=\frac{2x}{N},\ ... \ x_N=\frac{Nx}{N}=x. Tralasciando gli infinitesimi di ordine superiore a \delta, abbiamo: f(x_1)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)=f(x_0)+f'(x_0)\delta. Dato che la funzione coincide con la sua derivata, possiamo scrivere:

f(x_1)=f(x_0)+f(x_0)\delta=f(x_0)(1+\delta)

f(x_2)=f(x_1)(1+\delta)=f(x_0)(1+\delta)^2

f(x_3)=f(x_2)(1+\delta)=f(x_0)(1+\delta)^3

...

f(x_N)=f(x_{N-1})(1+\delta)=f(x_0)(1+\delta)^N

ma f(x_0)=f(0)=c,\ \delta=\frac{x}{N},\ x_N=x.

Abbiamo così dimostrato che la nostra funzione è f(x)=c\left(1+\frac{x}{N}\right)^N=ce^x.

Derivare i logaritmi

La prima conseguenza della regola trovata per gli esponenziali è la regola per i logaritmi. Poiché la funzione y=\ln x è inversa di x=e^y si può applicare la regola della derivata dell’inversa: \frac{d\ln x}{dx}=\frac{1}{\frac{de^y}{dy}}=\frac{1}{e^y}=\frac{1}{x}. La regola si applica anche al caso generale D\log_a x, perché \log_a x=\frac{\ln x}{\ln a}. Quindi: D\log_a x= D\frac{\ln x}{\ln a}=\frac{1}{x\ln a}.

exp_x_ln_x

Non è difficile visualizzare questa regola con un grafico. Le due funzioni, esponenziale e logaritmica, sono inverse l’una dell’altra e quindi i loro grafici sono simmetrici rispetto a y=x. Un punto P sul grafico della funzione logaritmo ha coordinate (x,y)=(x,\ln x). Il suo simmetrico P’ ha coordinate (y,x)=(y,e^y). La pendenza della tangente in P’ è x, il valore della funzione stessa, perché si tratta del grafico di un’esponenziale. Allora la pendenza nel punto simmetrico P sara reciproca: \frac{1}{x}. In conclusione:

  • D\log_a x=\frac{1}{x\ln a}\\ \mbox{ e in particolare } D\ln x= \frac{1}{x}

Funzione che ha per esponente un’altra funzione

Iniziamo dal caso più semplice: Dx^x. Se la si considera una potenza si ha: Dx^x=xx^{x-1}=x^x e quindi siamo di fronte ad una nuova funzione identica alla sua derivata. Se invece la si considera come un’esponenziale abbiamo: Dx^x=x^x\ln x. Però se varia la base, non è un’esponenziale e se varia l’esponente non è una potenza. Ma la formula del cambio di base ci aiuta: x^x=e^{x\ln x}. La derivata allora usa la regola degli esponenziali e delle funzioni composte: Dx^x=De^{x\ln x}=e^{x\ln x}(1\cdot\ln x+x\frac{1}{x})=x^x(\ln x +1).

Nel caso generale si ha Df(x)^{g(x)} e si procede nello stesso modo.

Df(x)^{g(x)}=De^{g(x)\ln f(x)}=
e^{g(x)\ln f(x)}\left[g'(x)\ln f(x)+g(x)\frac{1}{f(x)}f'(x)\right]=\\
=f(x)^{g(x)}\left[g'(x)\ln f(x)+g(x)\frac{f'(x)}{f(x)}\right].

Regola finale sulle funzioni potenza

Siamo ora in grado di dimostrare che la regola della derivata di una potenza è del tutto generale: resta la stessa anche con esponente reale qualsiasi. Occorre usare la regola degli esponenziali, la formula del cambio di base e la regola delle funzioni composte x^\alpha = e^{\ln x^\alpha }=e^{\alpha\ln x}.

Dx^\alpha = De^{\alpha\ln x}=e^{\alpha\ln x}\alpha\frac{1}{x}=
x^\alpha\frac{\alpha}{x}=\alpha x^{\alpha-1}.

Problemi

Il decadimento radioattivo

Una sostanza radioattiva decade spontaneamente, cioé riduce la propria massa liberando radioattività in proporzione alla massa residua R(t), secondo una legge che dipende dal tempo dt. Scrivi la legge matematica del decadimento.

Abbiamo: dR(t)=-kR(t)dt, con -k negativo perché si tratta di un decremento. L’equazione si riscrive come quella di una funzione proporzionale alla propria derivata \frac{dR(t)}{dt}=-kR(t), che ha per soluzioni: R(t)=ce^{-kt}. Come abbiamo visto, la costante c=R(0)=R_0 è la funzione calcolata nel punto 0, in questo caso la massa iniziale. La soluzione è quindi: R(t)=R_0e^{-kt}. k è caratteristica di ogni sostanza.

L’attenuazione luminosa

Un raggio di luce che attraversa una lastra semitrasparente subisce un’attenuazione che dipende dalla natura della lastra e dal suo spessore. Ricava la legge di Lambert Beer che mette in relazione l’intensità del raggio trasmesso con quella del raggio incidente.

Se la lastra ha uno spessore apprezzabile e riduce l’intensità luminosa per esempio del 30%, due di quelle lastre avranno una trasparenza del 70% del 70%, cioé del 49%, non del 60%. Insomma con spessori cospicui la trasparenza non è proporzionale allo spessore. La proporzionalità si conserva, a meno di infinitesimi di ordine superiore, se si immagina che la lastra sia composta da infiniti strati uguali di spessore infinitesimo. In questo caso, se ds è l’incremento di spessore infinitesimo, l’intensità della luce trasmessa I(s) diminuisce di una quantità kI(s)ds. Si ha allora dI(s)=-kI(s)ds e quindi \frac{dI(s)}{ds}=-kI(s). E’ ancora una volta un’equazione in cui si cerca l’espressione di una funzione proporzionale alla propria derivata, con f(x)=I(s), che ha per soluzione f(x)=ce^{ax}\mbox{ con }c=f(0). Cioé I(s)=ce^{-ks}=I_0e^{-ks}\mbox{, con }c=I_0 perché se lo spessore è nullo l’intensità è quella iniziale.

Riassunto

  1. Si illustra per via grafica e si dimostra per via analitica la derivata De^x=e^x e la regola più generale Da^x=a^x\ln a.
  2. La funzione e^x è la sola funzione uguale alla propria derivata, la funzione a^x è l’unica proporzionale alla propria derivata.
  3. Da questa regola conseguono quelle per le funzioni logaritmo, per le funzioni che hanno per esponente altre funzioni e la regola generale sulle funzioni potenza.

Esercizi

  1. Ricava la regola della derivata Da^x conoscendo la regola di De^x. Utilizza la regola per derivare le funzioni composte e la trasformazione a^x=e^{ln a^x}.
  2. Calcola D\sin^x x e esplicita per quali valori il risultato ha senso.
  3. Compila la lista di tutte le regole di derivazione viste fino a questo punto.