Le funzioni e il rapporto incrementale¶

Rapporto incrementale in funzioni a dominio discreto¶

Una funzione a dominio discreto in generale è diversa da una successione perché il suo dominio è una successione crescente qualsiasi, quindi non è detto che sia esclusivamente la successione degli indici.

L’esempio seguente illustra una funzione a dominio discreto $f :\left\{x_k \right \} \to \mathbf{R}$ . La scrittura $x_k$ , (anziché k come sarebbe per una successione) ci dice che il dominio è una successione crescente di interi e la tabella che rappresenta la funzione ha 3 righe: gli indici, i valori del dominio e i valori del codominio.

f è a dominio discreto

Se si vogliono valutare i tassi di variazione, le sole differenze dei valori $\Delta y_k$ non bastano, perché vanno valutate in rapporto alle differenze $\Delta x_k$ che sono relative ad esse. Graficamente: la diversa altezza delle colonne nel grafico va considerata in rapporto alle diverse basi. Per esempio $\Delta y_1 = 10$ e $\Delta y_2 = 3$ , ma la prima differenza dà luogo ad un tasso di variazione minore, perché va rapportata alla differenza $x_2-x_1=5$ , mentre $\Delta y_2$ si mette in rapporto con $x_3-x_2=1$ .

Il rapporto fra le differenze è proprio il calcolo che consente di ottenere il tasso di variazione ed è un calcolo così importante da meritare un nome specifico: rapporto incrementale e una scrittura particolare: $y'_k$ . In pratica il risultato si ottiene calcolando $y'_k= \frac{\Delta y_k}{\Delta x_k}$ .

rapporto incrementale

$y'_k$ si dice rapporto incrementale relativo all’indice k. Analogamente alla differenza nelle successioni, il rapporto incrementale graficamente corrisponde alla pendenza del segmento che unisce il punto di ordinata a $y_k$ con quello di ordinata a $y_{k+1}$ .

Un esempio¶

Immaginiamo $x_k = 2^k$ e $y_k=k^{(2)}$ per $k=0..+\infty$ e calcoliamo $y'_4$ .

Calcolo diretto: $\frac {y_{k+1}-y_k}{x_{k+1}-y_k}=\frac{ y_5 -y_4}{x_5-x_4}=\frac{5 \cdot 4-4 \cdot 3}{2^5-2^4}= \frac{8}{16}=\frac{1}{2}$
Dal generale al particolare: $y'_k=\frac{\Delta y_k}{\Delta x_k}=\frac {\Delta k^{(2)}}{\Delta 2^k}= \frac {2k}{2^k}=\frac {k}{2^{k-1}}$ . La formula generale consente il calcolo di qualsiasi differenza, quindi, per k=4 si ha $y'_4=\frac{4}{2^3}=\frac {4}{8}=\frac{1}{2}$ .

Si noti che nel secondo caso $\Delta y$ si calcola sulla base di quanto visto a proposito delle differenze.

Regole di calcolo del rapporto incrementale¶

Siamo quindi ad un punto importante, che vale come regola generale: il rapporto incrementale nelle funzioni a dominio discreto si calcola utilizzando le formule dei capitoli precedenti e dividendole per $\Delta x_k$ . Dalle stesse formule derivano le regole seguenti:

$c'=0$
$(cy_k)'=cy'_k$
$(y_k \pm z_k)'=y'_k \pm z'_k$
$(y_k z_k)'= y'_k z_k + y_{k+1} z'_k = y'_k z_{k+1} + y_k z'_k$
$\left( \frac {y_k}{z_k}\right)' = \frac{y'_k z_k - y_k z'_k}{z_k z_{k+1}}$

Rapporto incrementale in funzioni a dominio continuo¶

Nelle successioni e in generale nelle funzioni a dominio discreto l’incremento si calcola variando l’indice k: $\Delta y_k = y_{k+1}-y_k$ . Nelle funzioni a dominio continuo l’indice non esiste e quindi non c’è un intervallo prestabilito della variabile per calcolare l’incremento della funzione. Chiamando $h$ l’incremento della variabile $x$ possiamo dare la seguente definizione.

Sia $f: I \to \mathbf{R}, I \subseteq R$ , definiamo l’incremento di f relativo al punto x e all’incremento h: $\Delta f(x)= f(x+h)-f(x)$ , con $h \ne 0$ .

Possiamo così definire anche il rapporto incrementale della funzione, relativo al punto x e all’incremento h: $\frac {\Delta f(x)}{h}=\frac{ f(x+h)-f(x)}{h}$ . Il rapporto ha il significato geometrico della pendenza della retta che passa per i punti $(x, f(x)), (x+h, f(x+h))$ ed è il tasso medio di variazione della funzione fra i due punti.

rapporto incrementale nella f a dominio continuo

Possiamo pensare ad un’analogia cinematica, se interpretiamo $y = f(x)$ come la posizione all’istante $x$ di un punto che si muove su una retta, allora la differenza $\Delta f(x)$ rappresenta lo spostamento del punto fra l’istante $x$ e l’istante $x + h$ e il rapporto incrementale $\frac {\Delta f(x)}{h}$ rappresenta la velocità media relativa all’istante $x$ e alla durata $h$ .

rapporto incrementale come velocità media del punto

Note

La definizione di rapporto incrementale vale anche se l’incremento è $h<0$ . In questo caso per la differenza di f(x) si ha $f(x)-f(x+h)=-\Delta f(x)$ . E per la differenza di x: $x-(x+h)=-h$ . Per cui il rapporto incrementale è $\frac{-\Delta f(x)}{-h}=\frac{\Delta f(x)}{h}$ .

rapporto incrementale con h negativo

Rapporto incrementale di funzioni note¶

Funzione identica¶

incremento di $y=x$

Se $y=x$ allora $\Delta y=\Delta x=(x+h)-x=h$ , cioè l’incremento della funzione è uguale all’incremento della variabile, quindi il loro rapporto vale 1. Come si vede anche dal grafico, il rapporto incrementale è il coefficiente angolare del segmento che unisce i due punti, che in questo caso non è secante al grafico della funzione, ma gli appartiene.

$y=x,\quad \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\Delta x}{\Delta x} = 1$

Il fatto che $\Delta x=h$ ci permette di usare d’ora in poi $\Delta x$ al posto di h

Funzione quadratica¶

incremento di $y=x^2$

Se $y=x^2$ , allora $\Delta y= \Delta x^2 = (x+\Delta x)^2 - x^2=x^2+2x\Delta x+(\Delta x)^2 -x^2 =(2x+\Delta x)\Delta x$ . Il disegno illustra le tre parti di cui si compone l’incremento di area di un quadrato, analogamente a quanto già visto per $\Delta x_k^2$ . Di conseguenza:

$y=x^2,\quad \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\Delta x^2}{\Delta x} =\frac{(2x+\Delta x)\Delta x}{\Delta x}=2x+\Delta x$

Note

$\Delta x^2 \ne (\Delta x)^2$ !!

Funzione cubica¶

Con la stessa tecnica e aiutandosi con il disegno che si riferisce all’incremento di volume di un cubo, si può calcolare $\Delta x^3$ e il relativo rapporto incrementale.

incremento di $y=x^3$

$\Delta x^3 = (x +\Delta x)^3 - x^3 = x^3 +3x^2\Delta x+3x(\Delta x)^2+(\Delta x)^3 - x^3=3x^2\Delta x+3x(\Delta x)^2+(\Delta x)^3$ . Si ha così rapporto il incrementale :

$y=x^3,\quad \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{3x^2\Delta x+3x(\Delta x)^2+(\Delta x)^3}{\Delta x}=3x^2+3x\Delta x+(\Delta x)^2$ .

Funzione radice quadrata¶

Dalla definizione di differenza: $\Delta(\sqrt{x})=\sqrt{x+\Delta x}-\sqrt{x}$ , da cui è facile ricavare il rappporto incrementale. Tuttavia più avanti ci sarà utile riscrivere la differenza come una frazione da razionalizzare: $\sqrt{x+\Delta x}-\sqrt{x}=(\sqrt{x+\Delta x}-\sqrt{x})\frac{\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x}}=\frac{(x+\Delta x)-x}{\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x}}=\frac{\Delta x}{\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x}}$ . Da qui segue:

$y= \sqrt{x},\quad \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{1}{\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x}}$ .

Funzione seno¶

incremento di $y=sin x$

Immaginando che x e $x+\Delta x$ , con $\Delta x > 0$ , siano angoli del primo quadrante, si consideri nel disegno il triangolo rettangolo ABC. L’angolo acuto in B è congruente con l’angolo $x+\frac{\Delta x}{2}$ , perché i suoi lati AB e BC sono perpendicolari a OM e OA’. Quindi $BC=AB \cos (x+\frac{\Delta x}{2})$ . Ma le due metà di AB valgono ciascuna $\sin \frac{\Delta x}{2}$ , e BC = BB’-AA’ $=\sin (x+\Delta x) - \sin x= \Delta \sin x$ , quindi in conclusione: $\Delta \sin x= BC=AB \cos (x+\frac{\Delta x}{2})= 2\sin\frac{\Delta x}{2}\cos (x+\frac{\Delta x}{2})$ . Per cui il rapporto incrementale sarà:

$y= \sin x,\quad \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{2\sin\frac{\Delta x}{2}\cos (x+\frac{\Delta x}{2})}{\Delta x}$

Funzione coseno¶

incremento di $y=cos x$

Per la dimostrazione si fa riferimento ad una figura analoga alla precedente, tenendo conto però che questa volta il segmento che interessa è il lato AC = A’B’. La sua misura è $-\Delta \cos x$ e, pur essendo nel primo qudrante, è una misura negativa perché $OB' = \cos(x+\Delta x) < \cos x = OA'$ . Abbiamo che $AC=AB \sin A\hat{B}C$ . Riferendoci anche ai calcoli fatti per il seno per ricavare AB, alla fine vediamo che $-\Delta \cos x= 2\sin\frac{\Delta x}{2}\sin (x+\frac{\Delta x}{2})$ , da cui

$y= \cos x, \quad \frac{\Delta y}{\Delta x}=-\frac{2\sin\frac{\Delta x}{2}\sin (x+\frac{\Delta x}{2})}{\Delta x}$

Note

Per dimostrare la formula della differenza per il seno e per il coseno anche con x e $\Delta x$ negativi, si sviluppa la definizione di differenza e si usano le formule di prostaferesi.

Regole di calcolo del rapporto incrementale¶

Ricordando le regole già viste per le funzioni a dominio discreto, abbiamo le regole di calcolo seguenti:

$\frac{\Delta c}{\Delta x} = 0$
$\frac{\Delta [cf(x)]}{\Delta x} =c\frac{\Delta f(x)}{\Delta x}$
$\frac{\Delta [f(x) \pm g(x)]}{\Delta x} =\frac{\Delta f(x)}{\Delta x} \pm \frac{\Delta g(x)}{\Delta x}$
$\frac{\Delta [f(x)g(x)]}{\Delta x} = \frac{\Delta f(x)}{\Delta x}g(x)+f(x+\Delta x)\frac{\Delta g(x)}{\Delta x} = \\ = \frac{\Delta f(x)}{\Delta x}g(x+\Delta x)+f(x)\frac{\Delta g(x)}{\Delta x} \\ = \frac{\Delta f(x)}{\Delta x}g(x)+f(x)\frac{\Delta g(x)}{\Delta x}+\frac{\Delta f(x)}{\Delta x}\frac{\Delta g(x)}{\Delta x}\Delta x$
$\frac{\Delta \left[\frac {f(x)}{g(x)}\right]}{\Delta x} =\frac{\frac{\Delta f(x)}{\Delta x}g(x)-f(x)\frac{\Delta g(x)}{\Delta(x)}}{g(x)g(x+\Delta x)}$

Esercizi svolti¶

Calcoli diretti¶

Si risolvono con la calcolatrice senza fare uso delle formule.

Calcolare $\Delta\sqrt{x} \ \mbox{per}\ x=1\ \mbox{e}\ \Delta x = 0.2$ .

Basta esplicitare le definizione $\Delta \sqrt{x}=\sqrt{x+\Delta x}-\sqrt{x}= \sqrt{1.2}-\sqrt{1}=\dots$
Calcolare $\Delta \tan x\ \mbox{per}\ x=0.88\ \mbox{e}\ \Delta x = 0.4$ .

$\tan 0.92 - \tan 0.88 =0.103600$

I calcoli diretti sono sempre possibili se le funzioni coinvolte si trovano sulla calcolatrice. Non essendoci dati incogniti, è facile anche calcolare il rapporto incrementale.

Problema 1¶

Un cerchio di raggio $r=5 cm$ viene ingrandito fino a che la sua area aumenta di $0.8 cm^2$ . Di quanto aumenta il suo raggio?

Mettiamo in relazione l’area e il raggio e calcoliamo le differenze. La funzione è $A(r)=\pi r^2$ . La sua differenza è $\Delta A(r)=\Delta (\pi r^2)= \pi\Delta r^2=\pi[2r\Delta r+(\Delta r)^2]$ . Cioé: $(\Delta r)^2+2r\Delta r-\frac{\Delta A}{\pi}=0$

Inserendo i dati diventa $(\Delta r)^2+10\Delta r-\frac{0.8}{\pi}=0$ , che è un’equazione di secondo grado nell’incognita $\Delta r$ . Consideriamo solo la soluzione positiva e troviamo con l’aiuto della calcolatrice: $\Delta r=-5+\sqrt{25+\frac{0.8}{\pi}}=0.025 cm$

Si tratta di un problema tipico, cioé di un problema nel quale viene fornito il valore di $\Delta y$ e viene richiesto di calcolare $\Delta x$ tramite l’equazione $\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)$ . Nel problema proposto la soluzione è semplice, ma non lo è in generale e per raggiungerla occorre fare ricorso a tecniche di approssimazione che saranno spiegate più avanti.

Problema 2¶

Si vuole aumentare di $0.1 cm^2$ la superficie di un triangolo con i lati a=5cm, b =8cm, angolo compreso $\gamma= 40^\circ$ . Di quanto deve aumentare l’angolo $\gamma$ ?

Anche in questo problema c’è una formula diretta che lega l’area all’angolo:

$S(\gamma)=\frac{1}{2}ab \sin \gamma=20\sin\gamma=20\sin\gamma$ . Utilizzando le regole note per le differenze, ricaviamo: $\Delta S=\Delta(20\sin\gamma)=20[\sin(\gamma + \Delta \gamma)-sin\gamma]$

Inserendo i dati, l’equazione diventa:

$20[\sin (40^\circ +\Delta\gamma)-\sin 40^\circ=0.1\\ \sin (40^\circ +\Delta\gamma)-\sin 40^\circ=\frac{1}{200}\\ \sin (40^\circ +\Delta\gamma)= \frac{1}{200}+ \sin 40^\circ\\ 40^\circ +\Delta\gamma= \arcsin\left(\frac{1}{200}+ \sin 40^\circ\right)\\ \Delta\gamma= \arcsin\left(\frac{1}{200}+ \sin 40^\circ\right)- 40^\circ=0.375^\circ=22.5'\$

La formula generale è $\Delta \gamma=\arcsin\left(\frac{2\Delta S}{ab}-\sin\gamma\right)-\gamma$ .

L’esistenza della formula che lega direttamente le due variabili facilita enormemente la soluzione, che altrimenti richiederebbe tecniche molto più sofisticate. Ripetiamo infatti che se l’equazione è $\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)$ non è per nulla scontato risalire al valore utile $\Delta x$ a partire dal valore conosciuto di $\Delta y$ .

Riassunto¶

Il rapporto incrementale serve a calcolare il tasso di variazione della funzione fra due suoi valori.
Graficamente corrisponde alla pendenza del segmento che unisce i due punti di ascissa x e $x+\Delta x$ .
Il rapporto incrementale si calcola come rapporto fra l’incremento della funzione e l’incremento della variabile e ha due formulazioni diverse se la funzione è a dominio continuo o a dominio discreto.
Dopo avere imparato a calcolare questo rapporto nel caso di funzioni elementari, per passare a funzioni composte occorre conoscere le regole che consentono di applicare il rapporto incrementale a somme, prodotti, quozienti ecc.
La tecnica di calcolare le differenze è immediatamente risolutiva nei problemi in cui una formula fornisce il legame diretto fra due variabili.

Esercizi¶

#. Ricava algebricamente le regole di calcolo del rapporto incrementale nelle fu nzioni a dominio discreto,

partendo dalla definizione di rapporto incrementale e utilizzando le formule sulle differenze.

Spiega la nota del paragrafo 5.5.2, chiarendo perché se $\frac{\Delta x}{\Delta x}=1, \frac{\Delta x^2}{\Delta x} \ne \Delta x$
Verifica che $\frac{\Delta \frac {1}{x}}{\Delta x}= - \frac{\Delta x}{x(x+\Delta x)}$
Verifica che $\frac{\Delta \sqrt x}{\Delta x}=\frac {1}{\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt x}$
Verifica che $\frac{\Delta (ax+b)}{\Delta x}= a$
Segui i suggerimenti della nota al paragrafo 5.5.5 e dimostra le formule delle differenze per il seno e per il coseno.
Calcolare $\Delta \cos x\ \mbox{per}\ x=0.88\ \mbox{e}\ \Delta x = 0.4$
Calcolare $\Delta \frac{1}{x}\ \mbox{per}\ x=5\ \mbox{e}\ \Delta x = 1$
Calcolare $\Delta x!\ \mbox{per}\ x=-3\ \mbox{e}\ \Delta x = 1$
Un rombo ha una diagonale di 10 cm. Di quanto occorre allungare l’altra diagonale perché la sua superficie aumenti di 0.2 $cm^2$ ?
Un triangolo equilatero ha l’altezza di 10 cm. Di quanto occorre allungarla perché il suo perimetro aumenti di 8 cm?