L’algebra delle differenze¶

Immaginiamo la successione: $y_k=8k(k-1)+k3^k$ . Come calcolare $\Delta y_k$ ? La tabella conclusiva del capitolo precedente ci mette in grado di calcolare singole parti dell’espressione, ma non il suo insieme. Infatti mancano le regole per esprimere, fra le altre, la differenza o il prodotto di successioni. Ce ne occupiamo nelle prossime righe, iniziando dai casi più semplici.

Se una successione è costante, le sue differenze sono tutte nulle. Infatti per $\langle y_k\rangle$ con $y_k=c, \forall k$ , allora $\Delta y_k= y_{k+1} - y_k = c-c=0$ .
Se una successione si ricava da un’altra moltiplicando per una costante c i termini di quest’ultima, in modo da ottenere $\langle cy_k\rangle$ , allora le sue differenze saranno:

$\Delta cy_k~=~ cy_{k+1} - cy_k = c\Delta y_k$ .

Se invece la successione si ottiene dalla somma o differenza di altre due, allora si avrà: $\Delta[y_k \pm z_k]= y_{k+1} \pm z_{k+1} -(y_k \pm z_k) =(y_{k+1}-y_k) \pm (z_{k+1} - z_k)=\Delta y_k \pm \Delta z_k$ .

Il caso del prodotto di due successioni è meno diretto ed occorre un esempio geometrico per illustrarlo.

$\Delta y_k \cdot \Delta z_k$

$y_{k+1}=y_k+\Delta y_k$ e $z_{k+1}=z_k+\Delta z_k$ sono le misure dei due lati del rettangolo in figura, la cui area misura $y_{k+1} \cdot z_{k+1}=(y_k+\Delta y_k) \cdot (z_k+\Delta z_k)$ . Passando dall’indice k all’indice k+1, le dimensioni si incrementano di $\Delta y_k$ e $\Delta z_k$ . L’incremento di area, cioé $\Delta[y_k \cdot z_k]$ (la parte colorata) è dato da 3 rettangoli di area complessiva pari a: $y_k\Delta z_k + \Delta y_k z_k + \Delta y_k\Delta z_k$ e questo è il risultato. La somma si può ridurre a due soli addendi, se scritta in uno dei modi seguenti:

Se una successione si ottiene dal prodotto di due successioni, la differenza sarà:

$\Delta[y_k \cdot z_k]= \Delta y_k z_{k+1}+ y_k \Delta z_k =\Delta y_k z_k + y_{k+1} \Delta z_k$

La formula vale anche per numeri negativi, come dimostra lo sviluppo algebrico (v. esercizi).

Anche per la differenza del quoziente è meglio ricorrere ad un esempio geometrico, accettando il vincolo di operare solo con numeri positivi. Questa volta $y_k$ rappresenta l’area del rettangolo di base $z_k$ . $\Delta y_k$ rappresenta l’incremento di area, quindi la parte colorata (gnomone).

L’altezza della figura è $\frac {y_k}{z_k}+ \Delta \frac {y_k}{z_k}$ . L’ultimo termine è l’altezza della fascia orizzontale superiore. Questa si ottiene sottraendo dallo gnomone il rettangolo basso a destra. In formula questa differenza è: $\Delta y_k - \frac {y_k}{z_k}\Delta z_k$ La differenza, riscritta col denominatore comune, va poi divisa per la base, in modo da ottenere l’altezza. Alla fine si ha la regola:

Se una successione si ottiene dal rapporto fra due successioni, la diffferenza sarà: $\Delta \left[\frac {y_k}{z_k} \right]=\frac {\Delta y_k z_k - y_k\Delta z_k}{z_k z_{k+1}}$

Un esempio¶

Riprendiamo l’esercizio iniziale del capitolo e svolgiamolo. Ricordando i fattoriali decrescenti, riscriviamo: $8k(k-1)+k3^k=8k^{(2)}+k3^k$ . Quindi:

$\Delta [8k^{(2)}+k3^k]= \Delta [8k^{(2)}]+ \Delta [k3^k] = 8 \Delta k^{(2)} + \Delta k3^k +k \Delta 3^k + \Delta k \Delta 3^k=\\ =8 \cdot 2k + 1 \cdot 3^k+ k( 2 \cdot 3^k)+ 1 (2 \cdot 3^k)= 16k + 3 \cdot 3^k +2k3^k =\\ = 16k +3^{k+1} + 2k \cdot 3^k$ .

Riassumendo¶

Oltre alle formule per calcolare le differenze fondamentali, occorrono le regole di composizione per poter risolvere espressioni con somme, prodotti, ecc.

Differenza di	Risultato
funzione costante $\Delta c$	0
prodotto per una costante $\Delta cy_k$	$c\Delta y_k$
somma algebrica $\Delta[y_k \pm z_k]$	$\Delta y_k \pm \Delta z_k$
prodotto $\Delta y_k \Delta z_k$	$\Delta y_k z_{k+1}+ y_k \Delta z_k$
$\quad "$	$\Delta y_k z_k + y_{k+1} \Delta z_k$
rapporto $\Delta \frac {y_k}{z_k}$	$\frac {\Delta y_k z_k - y_k\Delta z_k}{z_k z_{k+1}}$

Esercizi¶

Sviluppa algebricamente il prodotto $y_{k+1} \cdot z_{k+1}=(y_k+\Delta y_k) \cdot (z_k+\Delta z_k)$ e ricostruisci la regola.
Calcola la differenza $\Delta [3k^{(4)}-2k^{(3)} + k^{(2)}-8k+13]$
Calcola la differenza $\Delta [\frac {k^{(2)}}{2^k}]$
Calcola la differenza $\Delta [2k^{(3)}-27k^{(2)} +96k+10]$