Le successioni e le differenze¶

Funzioni a dominio discreto e successioni¶

Una funzione a dominio discreto $f :\left\{x_k \right \} \to \mathbf{R}$ è una funzione il cui dominio è un insieme di valori distinti, che la variabile x assume senza variare con continuità fra l’uno e l’altro. In generale i valori di tale funzione (e quindi il codominio) saranno numeri reali. Il suo grafico nel piano cartesiano è dato da punti distinti $\left(x_k,y_k\right)$ dove $y_k = f(x_k)$ .

Le successioni sono particolari funzioni a dominio discreto, nel senso che il loro dominio è dato dagli indici, che formano un intervallo anche infinito di numeri interi. I punti dei loro grafici avranno quindi coordinate $(k,y_k)$ e saranno distribuiti con regolarità, perché la distanza orizzontale fra l’uno e l’altro è unitaria: corrisponde alla differenza fra due indici consecutivi.

Una successione (e in generale una funzione a dominio discreto) $\left\langle y_k \right\rangle$ si indica in modo diverso dall’insieme $\left\{y_k\right\}$ dei suoi valori. Per distinguere i due significati, consideriamo le due successioni $\left\langle a_k \right\rangle = 1,0,1,0,1,0...$ e $\left\langle b_k \right\rangle = 0,1,1,1,1...$ : sono generate da regole diverse ma hanno lo stesso insieme di valori $\left\{0,1\right\}$ .

Le due regole sono: $\left\langle a_k \right\rangle_1^{+\infty} =\begin{cases} 1, & \mbox{se }k =1 \\ 1-a_{k-1}, & \mbox{se }k>1 \end{cases}\quad$ e $\left\langle b_k \right\rangle_1^{+\infty} =\begin{cases} 0, & \mbox{se }k =1 \\ 1, & \mbox{se }k>1 \end{cases}$

Differenze e tasso di variazione¶

Nella tabella consideriamo una successione $\left\langle x_k \right\rangle_0^9$ , i cui 10 termini crescono da 2 fino a 9 e poi calano a 6. Si possono valutare le differenze fra un termine e il successivo con facili sottrazioni. Le differenze sono espresse nella terza riga della prossima tabella , dove si vede che per ogni k $\Delta y_k=y_{k+1}-y_k$ , cioè la differenza relativa al termine k-esimo si calcola partendo dal termine successivo.

La successione...

In questo modo si noti che se la successione non ha infiniti termini, il numero delle differenze è uno di meno rispetto al numero dei termini.

L’andamento dei termini può essere visualizzato da un semplice grafico:

...e il suo grafico.

Le le osservazioni importanti sul grafico sono due:

La linea spezzata che unisce i punti è disegnata per pura comodità di lettura, ma non dovrebbe esserci, perché la successione non ha valori da rappresentare fra i punti disegnati
Le colonne hanno pari larghezza (la base delle colonne misura 1) e per questo le differenze $\Delta y_k$ corrispondono al tasso di variazione fra un punto e l’altro.

Come vedremo in seguito, nel caso generale di una funzione a dominio discreto il tasso di variazione non si calcola con la semplice differenza $\Delta y_k$ , mentre questo calcolo è sufficiente per le successioni. Lo si può vedere dal grafico: infatti qui le colonne hanno uguale base e quindi solo la loro differente altezza influisce sulla pendenza del segmento che unisce due punti consecutivi, nel senso che un $\Delta y_k$ maggiore produce inevitabilmente una pendenza maggiore. La pendenza è l’equivalente grafico del tasso di variazione.

$\Delta y_k$

I fattoriali decrescenti¶

Alcune utili regole sui rapporti incrementali discendono dall’utilizzo di un particolare tipo di prodotto fattoriale.

Sappiamo già che il fattoriale di n è $n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot ... \cdot 2 \cdot 1$ , cioè il prodotto di un numero per tutti i suoi precedenti. Si può limitare il prodotto a p fattori. Allora la nuova funzione si chiama fattoriale decrescente di ordine p del numero k: $k^{(p)}$ . Ecco alcuni esempi

$5 ! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$ , ma: $5^{(2)} = 5 \cdot 4 = 20$ .

$7^{(3)} = 7 \cdot 6 \cdot 5 = 210$ , ma $7 ! = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 5040$

Quindi, in generale: $k^{(p)}=k(k-1)(k-2)...(k-p+1)$ . Per avere almeno due fattori, si intende generalmente p>1, ma è possibile ricavare il risultato anche in situazioni meno ovvie.

Prima di tutto è ovvio che p non è un esponente. È chiaro anche che se p=k, allora $k!=k^{(p)}$ e se invece p>k allora risultato è nullo.

Ricaviamo una formula. Poniamo k=10 e p=3. $10^{(3)}=10 \cdot 9 \cdot 8 = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot \frac{7}{7} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{7} = \frac{10^{(4)}}{(10 - 3)}$ . Da questo esempio e da altri calcoli analoghi che puoi sviluppare per esercizio, si intuisce che vale una regola importante: $k^{(p)}= \frac{k^{(p +1)}}{(k-p)} \to k^{(p+1)}= k^{(p)}(k-p)$ .

Se applichiamo la regola a $k^{(1)}$ ricaviamo $k^{(1)}=\frac {k^{(2)}}{k-1}=\frac {k(k-1)}{k-1}=k$ . In modo facile si può verificare anche $k^{(0)}=1$

Quanto a k, se k è un intero negativo, la regola non cambia. Esempio: $(-2)^{(3)}~=~(-2)(-3)(-4)=-24$

Un esempio per k razionale: $\left( \frac{1}{2} \right) ^{(3)}= \left( \frac{1}{2} \right) \cdot\left( \frac{1}{2} -1 \right) \cdot \left( \frac{1}{2} -2 \right)$

Calcoli di differenze¶

Differenze per la successione quadratica¶

Della successione: $\left\langle y_k \right\rangle_0^{+\infty}$ , con $y_k=k^2$ (oppure, che è lo stesso, della successione $\left\langle k^2 \right\rangle_0^{+\infty}$ ) calcoliamo la decima differenza $\Delta y_9$ . Ci sono due modi, quello che risolve il caso particolare e quello che scrive prima la formula generale e poi la applica.

$\Delta y_9=y_{10} - y_9 = 10^2 - 9^2 = 100-81 = 19\quad$ , oppure

$\Delta y_k= \Delta k^2 = (k+1)^2-k^2 = k^2 +2k + 1 -k^2= 2k+1$ che nel caso specifico vale $2\cdot 9+1=19$ .

Il secondo modo è più significativo, perché indica una regola generale: la differenza fra due quadrati consecutivi è il successivo del doppio del primo ed è sempre dispari.

Differenze per la successione dei reciproci¶

Calcoliamo la formula generale di $\Delta \frac{1}{k}$ e verifichiamo il risultato per k=8.

$\Delta \frac{1}{k}= \frac {1}{k+1} - \frac{1}{k}= \frac{k - (k+1)}{(k+1)k} = \frac{-1}{k(k+1)}$ che se k=8 risulta $-\frac{1}{72}$

Per via diretta si verifica il risultato facilmente. Le differenze della successione dei reciproci saranno tutte negative, dato che $\frac {1}{k+1} < \frac{1}{k}$

Differenze di fattoriali decrescenti¶

Riassumiamo i calcoli e gli esempi per capire come si comportano le differenze nelle successioni dei fattoriali decrescenti:

p	$\quad \quad k^{(p)}$	$\quad \quad \Delta k^{(p)}=(k+1)^{(p)}-k^{(p)}$
0	$k^{(0)}=1$	$1-1=0$
1	$k^{(1)}=k$	$(k+1) - k = 1$
2	$k^{(2)}=k(k-1)$	$(k+1)k - k(k-1) = k(k+1-k+1) = 2k$
3	$k^{(3)}=k(k-2)(k-1)$	$(k+1)k(k-1) - k(k-2)(k-1) = 3k(k+1) = 3k^{(2)}$
...	...	...
p	$k^{(p)}$	$(k+1)^{(p)}-k^{(p)}=pk^{(p-1)}$

L’ultima formula della tabella ci dà quindi la regola: $\Delta k^{(p)}=pk^{(p-1)}$

Differenze nelle progressioni geometriche¶

Fissiamo come primo esempio la progressione di ragione 2: $2^k$ .

$\Delta 2^k=2^{(k+1)}-2^k=2 \cdot 2^k-2^k=2^k(2-1)=2^k$

Il termine generale della progressione esprime quindi anche le sue differenze. Vediamo ora altre successioni con termini esponenziali $\langle cq^k \rangle$ e le loro differenze.

$\Delta cq^k = cq^{k+1} - cq^k=(q-1)cq^k$

Riassumendo¶

Le successioni e le funzioni a dominio discreto sono funzioni a valori distinti e il loro grafico è una successione di punti nel piano cartesiano.
I segmenti che li uniscono hanno una pendenza che corrisponde al tasso di variazione, un numero che si calcola attraverso una nuova funzione: il cosiddetto rapporto incrementale $y'_k=\frac {\Delta y_k}{\Delta x_k}$ .
Diamo una sintesi dei casi notevoli di $\Delta y_k$

$\quad \Delta y_k$	$y_{k+1}-y_k=$
$\Delta k$	1
$\Delta k^2$	$2k+1$
$\Delta k^3$	$3k^2+3k+1$
$\Delta \frac{1}{k}$	$-\frac{1}{k(k+1)}$
$\Delta k^{(p)}$	$pk^{(p-1)}$
$\Delta 2^k$	$2^k$
$\Delta q^k$	$(q-1)q^k$

Esercizi¶

Calcola le differenze $\Delta y_{17} , \Delta y_{38}, \Delta y_{151}$ della successione $\left\langle k^2 \right\rangle_0^{+\infty}$ .
Calcola nei due modi la differenza $\Delta y_4$ della successione $\left\langle y_k \right\rangle_0^{+\infty}$ con $y_k=k^3$ .
Calcola la quinta differenza della successione dei numeri pari. È un risultato particolare o generale?
Calcola la formula generale di $\Delta k!$
Trova i risultati per due fattoriali decrescenti a tuo piacere: se k è un intero negativo e se k è un razionale qualsiasi.
Giustifica la regola dei fattoriali decrescenti esplicitando la formula.
Mediante la stessa regola calcola $k^{(0)}$
Estendi a indici negativi i fattoriali decrescenti. Calcolando $k^{(-1)}\quad \, k^{(-2)}\quad \, k^{(-3)}$ giustifica la formula generale $k^{-p)}= \frac{1}{(k+p)^{(p)}}$ (p si intende positivo).
Aggiungi alcune righe alla tabella dei fattoriali decrescenti e calcola le differenze $\Delta k^{(4)})$ e $\Delta k^{(5)})$ in modo da giustificare la formula generale.
Fissa successivamente k= -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, ... e calcola i valori $\Delta 2^k$ .