Una premessa sul calcolo infinitesimale

Il calcolo che presentiamo ha innumerevoli applicazioni in tutti i rami della scienza. Per capirne gli scopi essenziali, facciamo un esempio fra i più facili e comuni. Sul cruscotto di un’automobile possiamo leggere i valori indicati da due strumenti: il tachimetro e il contachilometri. Il tachimetro, indicando istante per istante la velocità del moto, risolve un problema tipico del calcolo infinitesimale: conoscere la rapidità di variazione di una grandezza, in questo caso la rapidità con cui l’auto ha guadagnato spazio nel trascorrere del tempo. Il contachilometri indica la distanza percorsa fino a quel momento. Nell’automobile la distanza viene calcolata attraverso misure indirette del movimento delle ruote. Se il contachilometri mancasse, avremmo il problema di ricostruire la distanza percorsa, conoscendo istante per istante le diverse velocità con cui l’auto avanzava. Dunque i due problemi fondamentali del calcolo infinitesimale sono

1. Data una funzione, conoscere la rapidità delle sue variazioni
2. Dato l’insieme delle variazioni, ricostruire la funzione.

Questa dispensa si concentra sul primo problema e il calcolo che lo risolve si chiama:

• calcolo differenziale, se riferito alle funzioni a dominio continuo, cioé il cui dominio è un intervallo della retta reale;
• calcolo delle differenze, se riferito alle funzioni a dominio discreto, che cioé hanno per dominio l’insieme dei valori di una successione crescente di numeri reali.