I grafici delle funzioni¶

In quest’ultimo capitolo utilizziamo le conoscenze già viste, precisandole e approfondendole, e ne sviluppiamo di nuove per imparare a disegnare manualmente il grafico di una funzione. Molti software matematici, alcuni anche gratuiti e online, e molte calcolatrici scientifiche sono oggi in grado di svolgere perfettamente questo compito. Lasceremo a questi utili strumenti di calcolo la parte più macchinosa e meno attraente e terremo per noi la parte più nobile del compito, cioè la previsione e la valutazione delle proprietà del risultato.

Dettagli sul dominio¶

Finora abbiamo usato come dominio delle funzioni gli intervalli di numeri $[a,b]$ , oppure $(a,b)$ , o $[a,b)$ , o infine $(a,b]$ . Con queste notazioni puntiamo l’attenzione sui numeri $x : a<x<b$ interni all’intervallo e sottintendiamo che i numeri $x: x<a \vee x>b$ siano esterni e che infine $a,b$ siano i punti di frontiera del dominio. Trattandosi di numeri iperreali, cioè di numeri sui quali dobbiamo poter indagare anche con microscopi non standard, dobbiamo precisare alcune cose, che riprendiamo dal primo volume.

Una volta individuata la proprietà caratteristica di un intervallo della retta reale, sappiamo definire per estensione l’intervallo corrispondente di iperreali: si tratta dei numeri $^*x$ che hanno la stessa proprietà. Per esempio da un intervallo di reali $I= [a,b)=\{x : a\le x<b\}$ passiamo a $^*I= ^*[a,b)=\{^*x : a\le ^*x<b\}$ di iperreali.

Sappiamo anche che ogni funzione reale di numeri reali $f: D\to \mathbf{R}$ ha una corrispondente funzione $^*f: ^*D\to \mathbf{^*R}$ iperreale di numeri iperreali e che rinunciamo a scrivere cose come $^*\sin\epsilon$ oppure $^*\log(1+\delta)$ per semplicità e perché diamo per scontato che se l’argomento è un numero non standard allora stiamo usando l’estensione iperreale della funzione.

Classificazione dei punti del dominio¶

Dato un intervallo $A$ e il suo complemento $A'$ di reali, consideriamo le estensioni iperreali $^*A, ^*A'$ . Chiamiamo

punti interni di $^*A$ quelli per cui $mon(x)\subseteq ^*A$ , cioè i punti che intendiamo siano contenuti in $^*A$ con la propria monade
punti esterni di $^*A$ quelli per cui $mon(x)\subseteq ^*A'$ , la cui monade non è contenuta a $^*A$
punti di frontiera per $^*A$ quelli per cui $mon(x)\cap ^*A\ne \emptyset\land mon(x)\cap ^*A'\ne \emptyset$ , nella cui monade ci sono sia punti di $^*A$ che punti del suo complemento $^*A'$

I punti possono essere solo in una di queste tre situazioni, rispetto a $^*A$ .

Quando studiamo il comportamento asintotico di una funzione in un punto, in realtà siamo interessati ai valori che la funzione assume nei punti infinitamente vicini, quindi diversi dal punto indicato. Per esempio $f(c\pm)\approx s$ significa $f(c\pm\delta)\approx s$ , cioè $f(x)\approx s$ per tutti gli $x$ infinitamente vicini a $c$ , ma in generale diversi da $c$ . Infatti può anche succedere che la funzione non sia definita per $x=c$ , mentre deve esserlo per $x\in mon(c)$ . È il caso tipico dei punti di frontiera degli intervalli aperti di iperreali, per i quali ci aspettiamo che la funzione sia definita per la monade destra di $a$ e per quella sinistra di $b$ . A volte invece non possiamo studiare il comportamento asintotico della funzione per $x\approx c$ perché solo $c$ appartiene a $^*A$ e non la sua monade, o meglio $mon(x)\cap ^*A-\{x\}=\emptyset$ . Allora si dice che siamo in presenza di un punto isolato.

punti isolati di $^*A$ quei punti di frontiera per cui $mon(x)\cap ^*A=\{x\}$ , cioè essi sono gli unici elementi comuni sia alla propria monade che all’estensione di $^*A$ .

In conclusione, è possibile studiare il comportamento asintotico di $f(x)$ solo per i punti interni di $^*A$ e per i punti di frontiera non isolati, perché in entrambi i casi $mon(x)\cap ^*A-\{x\}\ne\emptyset$ . Questi punti sono quelli utili per noi ed hanno un nome particolare:

punti di accumulazione di $^*A$ quei punti per cui $mon(x)\cap ^*A-\{x\}\ne\emptyset$ , cioè punti per i quali ogni monade contiene dell’estensione di $^*A$ almeno un punto diverso $x$ .

Perciò se $c$ è un punto di accumulazione per il dominio $D$ di $f$ , possiamo dire che $f(c\pm)\approx s$ se $\forall x\in mon(c) \land x\in ^*D\land x\ne c\ :\ f(x)\approx s$ .

Per esempio, se accade che $f(c+)=+\infty$ , si dirà che $c$ è un punto di accumulazione destro per il quale la funzione è un infinito positivo.

Esercizio¶

Dato l’insieme $A=\frac{k}{k+1}, k\in\mathbf{N}$ , definisci l’estensione di $A$ , i suoi punti interni, esterni, isolati, di frontiera di accumulazione.

L’estensione $^*A$ si ottiene per $k$ ipernaturale infinito, quindi aggiungendo i punti $\frac{N}{N+1}\sim 1$ . Quindi $1$ è un punto di accumulazione per l’insieme $^*A$ , mentre gli altri punti, che si ottengono per $k$ finito, nelle loro monadi non hanno altri elementi dell’insieme esteso . Sono punti isolati e dunque sono punti di frontiera. Abbiamo quindi un insieme costituito da infiniti punti di frontiera, uno dei quali è anche di accumulazione: un insieme senza punti interni.

Note

Un punto che appartiene ad un insieme non è detto che sia interno all’insieme. All’insieme appartengono i punti interni e quelli di frontiera, fra i quali anche quelli isolati.

Immaginiamo che $^*A$ sia il dominio della funzione $f(x)=\frac{1}{x-1}$ . Possiamo studiare il comportamento asintotico di $f$ solo per $x=1$ , cioè per i punti $\frac{N}{N+1}$ infinitamente vicini a $1$ e diversi da $1$ . Infatti $x=1$ è l’unico punto di accumulazione.

$f(\frac{N}{N+1})=\frac{1}{\frac{N}{N+1}-1}=\frac{1}{-\frac{1}{N+1}}=-(N+1)=-\infty$

$1$ è il punto di accumulazione sinistro per cui $f$ è un infinito negativo. Si può ottenere lo stesso risultato valutando $x=\frac{N}{N+1}<1$ e quindi $x-1$ è un infinito negativo.

In aggiunta, osserviamo che il differenziale $dx$ non è calcolabile (e quindi nemmeno la derivata), perché mancano punti interni al dominio.

Uno studio di funzione completo: esercizio guida¶

Sappiamo già come ricavare parecchie indicazioni sul grafico di una funzione. Sappiamo che la derivata prima ci dice se la funzione è crescente o decrescente, che i punti a derivata nulla sono o di massimo o di minimo o di flesso orizzontale, che il segno della derivata seconda ci indica la concavità. Inoltre se la prima delle derivate successive non nulle è di ordine dispari avremo un flesso ascendente per la derivata positiva (quindi funzione crescente), altrimenti discendente (quindi decrescente).

Per applicare le nostre conoscenze e completarle eseguiamo lo studio di $f(x)=\frac{\ln x}{x}$

Il dominio¶

Il dominio è parte integrante della definizione della funzione e se non viene esplicitamente indicato si assume che sia il più ampio intervallo di reali per i quali la funzione ha significato. La nostra $f(x)$ non è calcolabile se il denominatore è zero e in più il numeratore è definito per valori $x$ positivi. Le due condizioni (di esistenza) sono quindi

$\begin{cases} x\ne 0, & \mbox{per l'esistenza del quoziente} \\ x>0, & \mbox{per l'esistenza del logaritmo}\end{cases}\ \to \ x>0$

Rappresentazione del dominio di $f(x)=\frac{ln x}{x}$

Il disegno corrispondente è il semipiano positivo, intendendo escluso anche $x=0$ , punto nel quale disegniamo un cerchietto vuoto.

La simmetria¶

Si cerca di stabilire se la funzioni ha simmetria. Ricordiamo

Se $f(x)=f(-x)$ la funzione è pari e il suo grafico è simmetrico rispetto all’asse $Y$ .
Se $f(x)=-f(x)$ la funzione è dispari e il suo grafico è simmetrico rispetto all’origine.
$f(x)$ non è né pari né dispari: nessuna di queste simmetrie.

Per il controllo della simmetria conviene calcolare $f(-x)$ , cioè sostituire $-x$ ad $x$ nell’espressione della funzione, e controllare a quale delle opzioni corrisponde il risultato. La nostra funzione non ha simmetria e lo si vede già disegnando il dominio.

Note

$f(x)$ può avere altre simmetrie, come si vedrà nell’ultimo esercizio del capitolo. L’analisi di tutte le possibili simmetrie si può fare negli esercizi in cui si parte dal grafico per analizzare le proprietà della funzione ed è di grande aiuto perché abbrevia il lavoro.

Le intersezioni¶

Per avere punti di riferimento nel disegno la strategia più semplice è cercare le intersezioni del grafico con gli assi. . È meglio cercare dapprima le intersezioni con l’asse $Y$ , infatti le intersezioni con l’asse $x$ sono i punti per i quali $f(x)=0$ e non è sempre semplice trovare le soluzioni, che possono anche essere infinite.

Intersezioni con l’asse $Y$ : nel nostro caso non esistono perché $x=0$ è escluso da dominio.

Intersezioni con l’asse $X$ : le intersezioni per $f(x)=0$ corrispondono alle soluzioni di $\ln x=0 \ \to\ x=1$ . Abbiamo una sola intersezione, in $(1,0)$ .

Il segno¶

Non sappiamo se a sinistra dell’intersezione il grafico sia nel primo o nel quarto quadrante e non sappiamo se intersecando l’asse orizzontale il grafico cambi o no quadrante. Per questo motivo cerchiamo di risolvere $f(x)>0$ .

Se la ricerca delle soluzioni è particolarmente complessa, per le funzioni continue possiamo anche evitarla: basterà calcolare il valore di $f(x)$ in punto fra due intersezioni consecutive, infatti fra due zeri consecutivi una funzione continua ha segno costante, altrimenti vi sarebbero ulteriori intersezioni fra i due punti .

Ma il nostro è un caso semplice: dato che il dominio è per $x>0$ , la funzione ha lo stesso segno del logaritmo, cioè

$\begin{cases} f(x)<0, & \mbox{ per }0<x<1 \\ f(x)\ge 0, & \mbox{ per }x\ge 1\end{cases}$

Cancelliamo dal disegno le regioni del piano non attraversate dal grafico.

Regioni del piano attraversate dal grafico

Gli asintoti¶

Se nel dominio vi sono punti di frontiera che sono anche di accumulazione e se vi sono punti infiniti, occorre capire il comportamento asintotico di $f(x)$ . Nel notro caso occorre calcolare $f(0+)$ e $f(+\infty)$ .

$f(0+)=\frac{\ln (0+)}{0+}=\frac{-\infty}{0+}=-\infty\\ f(+\infty)=\frac{\ln (+\infty)}{+\infty}=\frac{+\infty}{+\infty}\overset{H}{\approx}\frac{\frac{1}{x}}{1}\approx 0$

Abbiamo quindi un asintoto vertivale in $x=0+$ e uno orizzontale in $x=+\infty$ . Nel grafico aggiungiamo due piccoli tratti a sinistra in basso e a destra appena sopra l’asse orizzontle, per ricordarci dove passerà il disegno.

L’andamento¶

Il segno della derivata prima ci dirà se e in quali intervalli la funzione è crescente o decrescente; se si annulla cercheremo di capire in quali punti vi può essere un massimo o un minimo o un flesso orizzontale.

$f'(x)=\frac{\frac{1}{x}x-\ln x}{x^2}=\frac{1-\ln x}{x^2}$

si annulla per $\ln x=1\ \to\ x=e$ . Che ci fosse un punto a tangente orizzontale era prevedibile, dopo lo studio del comportamento asintotico, e resta solo da capire se e dove $f(x)$ è crescente o decrescente, anche se ormai si intuisce, dato che nel dominio è continua.

In generale può essere molto complicato risolvere $f'(x)>0$ e allora è consigliabile procedere come indicato per $f(x)=0$ , sempre che la derivata sia continua. Nel nostro caso la disequazione è semplice:

$& f'(x)>0 \mbox{ per } 0<x<e \mbox{ (funzione crescente)}\\ & f'(x)<0 \mbox{ per } x>e \mbox{ (funzione decrescente)}$

La funzione raggiunge quindi in $e=2.7$ il suo massimo (assoluto), con il valore $f(e)=\frac{\ln e}{e}=\frac{1}{e}=0.37$ e poi decresce adagiandosi progressivamente sull’asse $X$ .

La concavità e i flessi¶

È evidente che approssimandosi al massimo $f(x)$ ha la concavità rivolta verso il basso e che per adagiarsi sull’asse orizzontale subisce un cambio di concavità. Analizziamo i dettagli con lo studio della derivata seconda.

$f^{''}(x)=\frac{-\frac{1}{x}x^2-(1-\ln x)(2x)}{x^4}=\frac{2\ln x-3}{x^3}$

che si annulla per $\ln x=\frac{3}{2}\ \to\ x=e^{\frac{3}{2}}=4.48$ .

Il segno della derivata seconda, se la sua espressione è complicata ma la derivata è continua, si può ricavare seguendo i suggerimenti analoghi visti per per il segno della funzione e della derivata prima.

Il nostro caso però è di quelli semplici:

$& f^{''}(x)<0 \mbox{ per } 0<x<e^{\frac{3}{2}} \mbox{ (concavità verso il basso)}\\ & f^{''}(x)>0 \mbox{ per } x>e^{\frac{3}{2}} \mbox{ (concavità verso l'alto)}$

per cui in $x=e^{\frac{3}{2}}=4.48$ la funzione ha un flesso ascendente, con il valore di $f\left(e^{\frac{3}{2}}\right)=0.33$ . Inoltre la derivata seconda ci conferma che $x=e$ è un punto di massimo, perché $f^{''}(e)<0$ .

Le conclusioni sul flesso ascendente si possono verificare anche con la derivata terza, perché $f^{'''}(e)>0$

Il disegno manuale del grafico di $\frac{\ln x}{x}$

Nei casi complicati, in cui le equazioni $f(x)=0\mbox{, }f'(x)=0\mbox{, }f^{'''}(x)=0$ e le disequazioni associate sono troppo laboriose, ci si affida ai software che tracciano i grafici automaticamente.

Il grafico al computer di $\frac{\ln x}{x}$

Tuttavia questi strumenti a volte non chiariscono le esatte posizioni dei punti caratteristici ed occorre comunque aiutarsi con i calcoli.

La curvatura¶

Quando il grafico è stato tracciato manualmente, resta sempre il dubbio di non avere tracciato correttamete le curve fra i punti notevoli calcolati. Cerchiamo di costruire un metodo per identificare la curvatura che il grafico corretto deve seguire in ogni punto: avremo così uno strumento di analisi e di confronto anche per le curvature disegnate dal software.

La curvatura più facile da analizzare è quella di un cerchio. Chi lo percorre stando sulla circonferenza deve cambiare la sua direzione di un angolo pari all’angolo spazzato dal raggio. La direzione punto per punto è data dalla direzione della tangente e la curvatura è costante, per ogni cerchio. C’è infatti un rapporto fisso fra l’arco di circonferenza percorso $\Delta s$ e l’angolo al centro (misurato in radianti) $\Delta \theta$ , che è dato dal raggio: $\Delta s=r\Delta \theta\ \to\ \frac{\Delta\theta}{\Delta s}=\frac{1}{r}$ . La curvatura è la rapidità con cui si cambia direzione percorrendo l’arco e quindi è il rapporto fra angolo e arco, inversamente proporzionale al raggio. La relazione vale anche per archi infinitesimi: $\frac{1}{r}=st\left(\frac{d\theta}{d s}\right)$ .

Cerchiamo ora di adattare questi risultati iniziali a grafici con curvature qualsiasi. Il procedimento generalizza e precisa quanto già visto a proposito della ricerca del cerchio osculatore di una curva, nel libro precedente.

Tracciamo in $x$ la tangente al grafico: sarà una retta inclinata di un angolo $\theta$ rispetto all’orizzontale, la cui tangente goniometrica è la derivata della funzione in $x$ : $\theta=\arctan f'(x)$ .

Per esempio, calcoliamo il raggio del cerchio osculatore alla parabola $y=x^2$ nel punto $x=1$ .

$f'(x)=2x\ \to \ f'(1)=2\\ \theta=\arctan 2=1.0715$ , cioè circa $63.4^\circ$

Il calcolo non è finito, perché la derivata che abbiamo calcolato è $\frac{d\theta}{dx}$ e non $\frac{d\theta}{ds}$ . $d s$ è il tratto infinitesimo di curva. Osservato al microscopio non standard, poiché $dy\approx f'(x)dx$ , risulta

$ds=\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}\approx\sqrt{(dx)^2+f'(x)^2(dx)^2}=\sqrt{1+f'(x)^2}dx.$

L’angolo (in radianti) è l’arcotangente di $f'(x)$ , perciò abbiamo: $d\theta\sim\frac{1}{1+f'(x)^2}f'(x)dx$ e quindi:

$&\frac{d\theta}{ds}=\frac{\frac{f^{''}(x)}{1+f'(x)^2}dx}{\sqrt{1+f'(x)^2}dx} =\frac{f^{''}(x)}{\left[1+f'(x)^2\right]^\frac{3}{2}}=\frac{1}{r(x)}\\ &r(x)=\frac{\left[1+f'(x)^2\right]^\frac{3}{2}}{f^{''}(x)}$

Il raggio in questo modo potrebbe anche risultare negativo, dipendendo dal segno di $f^{''}(x)$ . Il raggio negativo indicherà la curvatura concava verso il basso, il raggio positivo indicherà la curvatura verso l’alto.

Tornando alla parabola, applicando la formula il raggio risulta $r(x)=\frac{\left[1+4x^2\right]^\frac{3}{2}}{2}$ . Quindi al suo vertice la curvatura della parabola ha un raggio di $r(0)=\frac{1}{2}$ , che corrisponde al risultato ottenuto nel primo libro.

Ora è facile disegnare il cerchio osculatore al vertice della parabola. La formula però è utile per disegnare il cerchio in qualsiasi punto della curva, purché si sappia in quale posizione fissare il centro. Vediamo come trovare la posizione del centro.

La direzione della tangente si può rappresentare tramite il versore $\hat t$ che punta nella direzione positiva degli assi. Le sue componenti, secondo il coseno e il seno dell’angolo, sono

$t_x=\frac{dx}{ds}=\frac{1}{\sqrt{1+f'(x)^2}}\mbox{ e }t_y=\frac{f'(x)dx}{ds}=\frac{f'(x)}{\sqrt{1+f'(x)^2}}$

Trovate le componenti del versore tangente, calcoliamo quelle del versore $\hat n$ perpendicolare alla curva in quel punto. Dato che il raggio è perpendicolare alla tangente, $\hat n$ punta al centro del cerchio osculatore. Abbiamo

$n_x=-t_y=-\frac{f'(x)dx}{ds}=\frac{f'(x)}{\sqrt{1+f'(x)^2}}\mbox{ e }n_y=t_x=\frac{1}{\sqrt{1+f'(x)^2}}$

Trovata la direzione del centro, la sua posizione si ottiene moltiplicando le componenti del versore normale per la lunghezza del raggio.

$x_c=x+r(x)n_x\mbox{ e }y_c=f(x)+r(x)n_y$

Operate le sostituzioni e svolti i calcoli, risulta:

$\begin{cases} & x_c=x-\frac{f'(x)\left[1+f'(x)^2\right]}{f^{''}(x)} \\ & y_c=f(x)+\frac{1+f'(x)^2}{f^{''}(x)} \end{cases}$

che sono le coordinate del centro del cerchio osculatore, relative a qualsiasi punto del grafico e per qualsiasi concavità, purché, ovviamente, la derivata seconda non si annulli. In questo caso non vi sarebbe nessuna concavità e il cerchio osculatore avrebbe un raggio infinito.

Applichiamo le due formule alla solita parabola, per trovare il centro del cerchio osculatore relativo al punto di ascissa $x$ . Una volta svolti i calcoli avremo:

$\begin{cases} & x_c=-4x^3 \\ & y_c=\frac{1}{2}+3x^2 \end{cases}$

Prendiamo un software di geometria interattiva (Geogebra, DrGeo, Cabri, ecc), disegniamo la parabola e costruiamo l’animazione che al variare di $x$ disegna il cerchio osculatore per mezzo delle formule che calcolano i centri e i raggi.

Cerchi osculatori della parabola $y=x^2$

Osservazioni su alcune curvature¶

Le stesse formule, applicate alla sinusode danno luogo al disegno seguente

Cerchi osculatori della sinusoide

Il disegno mostra raggi verticali di lunghezza unitaria per $x=\frac{\pi}{2}$ . Infatti i calcoli ce lo confermano:

$r(x)=\frac{\left[1+f'(x)^2\right]^\frac{3}{2}}{|f^{''}(x)|}= \frac{(1+\cos^2 x)^\frac{3}{2}}{|\sin x|}$

dove usiamo il valore assoluto per non dover dipendere dal tipo di concavità positiva o negativa segnalata dalla derivata seconda. Per $x=\frac{\pi}{2}$ si ha

$r\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\left(1+\cos^2 \frac{\pi}{2}\right)^\frac{3}{2}}{\left|\sin \frac{\pi}{2}\right|}=1$

Il raggio di curvatura per la sinusoide è minimo quando vale $1$ , in corrispondenza dei massimi e dei minimi della funzione, dove c’è il massimo di curvatura. Si possono allora trovare i massimi di curvatura di un grafico attraverso la ricerca del cerchio osculatore di raggio minimo.

Per esempio, relativamente al grafico del logaritmo, abbiamo:

$y=\ln x\mbox{ , }f'(x)=\frac{1}{x} \mbox{ , }f^{''}(x)=-\frac{1}{x^2}\\ r(x)=\frac{\left[1+f'(x)^2\right]^\frac{3}{2}}{|f^{''}(x)|}= \frac{\left(1+\frac{1}{x^2}\right)^\frac{3}{2}}{\left|-\frac{1}{x^2}\right|}= \frac{(x^2+1)^\frac{3}{2}}{x}$

La funzione $r(x)$ calcolata per il logaritmo è un infinito positivo sia in $x=0+$ sia in $x~=~+\infty$ , quindi è garantita l’esistenza di un minimo assoluto, che possiamo trovare annullando la derivata prima: $r'(x)=0$ . Svolgendo i calcoli, si trova che deve essere $2x^2-1=0\ \to\ x=\frac{1}{\sqrt{2}}$ che, inserito nella formula del raggio, fornisce il valore di circa $2.6$ .

Concludiamo che il calcolo differenziale fornisce anche un metodo che consente di calcolare la curvatura dei grafici delle funzioni.

Il cerchio osculatore minimo e il punto di massima curvatura per la funzione logaritmo.

Un grafico di funzione al computer¶

Tracciando il grafico di una funzione con il computer il risultato è immediato e tutte le informazioni utili sembrano già disponibili. In realtà non tutte sono evidenti, e occorre qualche calcolo per ricavarle. Vediamo un esempio

Questo è il grafico della funzione $y=\cos^3x+\sin^3x$ .

Il grafico di $y=\cos^3x+\sin^3x$ tracciato con Derive.

Periodicità e simmetrie¶

Alcune proprietà della funzione si cominciano a vedere dopo una variazione di scala:

Il grafico precedente dopo la dilatazione della scala orizzontale.

Si tratta di una funzione periodica. Era un fatto intuibile, dato che la funzione è somma di cubi di funzioni periodiche. Il periodo è $T=2\pi$ e diamo per scontato che $f(x)$ sia definita su tutto l’asse reale.

Note

Bisogna però osservare che la periodicità va sempre verificata: non è detto che la somma di due funzioni periodiche, con lo stesso periodo, sia una funzione periodica e, se lo è, che abbia periodo uguale a quello delle funzioni.

Il grafico ha altre simmetrie, oltre alle simmetrie per traslazione, secondo i vettori multipli di $\vec c[2\pi,0]$ , dovute alla sua periodicità. Infatti i punti di intersezione con l’asse delle ascisse sono centri per rotazioni di $180^\circ$ , che riportano la figura su se stessa. Inoltre le rette verticali passanti per i minimi della parte superiore e per i massimi di quella inferiore sono assi di simmetria per il grafico. E poi l’asse orizzontale è asse di una glisso-simmetria fra la parte positiva e quella negativa del grafico.

Intersezioni¶

Per $x=0$ , $f(0)=1$ , quindi la prima intersezione con gli assi è in $(0,1)$ . Per le intersezioni con l’asse $X$ bisogna risolvere

$\cos^3 x+\sin^3 x=0\\ (\cos x+\sin x)(\cos^2x-\sin x \cos x+\sin^2 x)=0\\ \cos x+\sin x=0\\ \tan x=-1\ \to\ x=-\frac{\pi}{4}+k\pi$ .

La prima intersezione con l’asse orizzontale è in $(-\frac{\pi}{4},0)$ , le successive e le precedenti seguono il variare di $k$ . Le intersezioni più vicine a $x=-\frac{\pi}{4}+k\pi$ si hanno per $k=\pm 1$ e sono $x=-\frac{5\pi}{4}$ e $x=\frac{3\pi}{4}$ . Data la simmetria centrale del grafico, basta analizzarlo nell’intervallo $\left[-\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4}\right]$ che rappresenta mezzo intervallo di periodicità. Poi si estenderanno le conclusioni all’altra metà periodo.

In aggiunta, si vede che gli assi verticali di simmetria si trovano in $x=\frac{\pi}{4} +k\pi$ , quindi si può ancora dimezzare l’intervallo su cui studiare la funzione, che si riduce a $\left[\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4}\right]$ .

Massimi e minimi¶

Osservando il grafico, ci aspettiamo che la derivata si annulli in $x=\frac{\pi}{4}\mbox{, }x=\frac{\pi}{2}$ e per quest’ultimo punto sembra ci sia un massimo assoluto.

$f'(x)=0\ \to \ &3\sin^2 x\cos x - 3\cos^2x\sin x=0`\\ &\sin x \cos x(\sin x-\cos x)=0$

Nell’intervallo che consideriamo $f'(x)$ si annulla per $\cos x=0$ e per $\sin x-\cos x=0$ . Le soluzioni sono dunque $x=\frac{\pi}{2}\mbox{, }x=\frac{\pi}{4}$ , come previsto. I valori corrispondenti della funzione sono $f\left(\frac{\pi}{4}\right)=0.70$ e $f\left(\frac{\pi}{2}\right)=1$ . Quest’ultimo valore poteva essere ricavato direttamente dal grafico, sulla base della simmetria assiale della curva.

Viste le simmetrie, abbiamo che nell’intervallo $\left[-\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4}\right]$ $f(x)$ cresce da $\left(-\frac{\pi}{4},0\right)$ fino a $(0,1)$ (massimo assoluto), poi decresce fino al minimo relativo nel punto $\left(\frac{\pi}{4},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ , poi cresce fino ad un nuovo massimo assoluto in $\left(\frac{\pi}{2},1\right)$ e infine decresce.

L’analisi può essere estesa ad un intero periodo, mediante una simmetria centrale, di centro $\left(-\frac{\pi}{4},0\right)$ . L’intervallo diventa allora $\left[-\frac{5}{4}\pi,\frac{3}{4}\pi\right]$ e nella metà periodo che ora si aggiunge a sinistra rispetto a prima, i minimi assoluti negativi sono i corrispondenti dei massimi positivi già calcolati e il massimo relativo negativo è il corrispondente del minimo relativo già visto.

Analisi della derivata prima¶

Grafico della funzione e della sua derivata prima

Aggiungendo al grafico della funzione anche quello di $y=f'(x)$ , vediamo che questo

raggiunge i valori estremi in corripondenza delle intersezioni per cui $f(x)=0$ , che sono i punti di massima pendenza, in valore assoluto
interseca sei volte l’asse orizzontale, in corrispondenza dei massimi e dei minimi di $f(x)$ .

Se $f'(x)$ cambia segno ripetutamente vuol dire che $f(x)$ cambia concavità e questo preannuncia la presenza di flessi.

Analisi della derivata seconda¶

La derivata seconda è $f^{''}(x)=6\sin x\cos^2 x-3\sin^3x+6\cos x\sin^2 x-3\cos^3 x$ . Cerchiamo gli zeri di questa funzione.

$&6\sin x\cos^2 x-3\sin^3x+6\cos x\sin^2 x-3\cos^3 x=0\\ &\sin x\cos x(\sin x+\cos x)-3(\sin x +\cos x)(\sin^2 x-\sin x \cos x+\cos^2 x)=0\\ &-3(\sin x +\cos x)(\sin^2 x-3\sin x \cos x+\cos^2 x)=0$

Il prodotto si azzera, nell’intervallo $\frac{\pi}{4}\le x\le \frac{3}{4}\pi$ , se

$&\sin x +\cos x=0 \ \to\ \tan x=-1\ \to\ x=\frac{3}{4}\pi\\ &\sin^2 x-3\sin x \cos x+\cos^2 x=0 \ \to \ \tan^2 x-3\tan x+1=0\ \to\ \\ & \to \ \tan x=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}\ \to \ x=\arctan\frac{3+\sqrt{5}}{2}$

Grafico della funzione e della sua derivata seconda

Anche la derivata seconda si azzera sei volte in un periodo, cambiando segno. La funzione quindi cambia concavità. In un periodo ci sono due punti di flesso dove $f(x)=0$ e altri quattro, a due a due simmetrici rispetto al minimo positivo e al massimo negativo.

Curvatura¶

L’espressione della curvatura $k(x)=\frac{f^{''}(x)}{\left[1+f'(x)\right]^\frac{3}{2}}$ è così complicata che è meglio che sia Derive a calcolarla.

$k(x)=\frac{3(2\sin x \cos^2 x+\cos x(3\sin^2 x-1)-\sin^3 x)}{(-18\sin^3 x\cos^3 x+9\sin^2 x \cos^2 +1)^\frac{3}{2}}$

Chiediamo direttamente al software di tracciare il grafico della curvatura insieme a quello della funzione.

Grafico della funzione e della curvatura

Gli zeri dell’espressione della curvatura sono gli stessi della derivata seconda, sono i punti a curvatura nulla, cioè i tratti rettilinei del grafico della funzione e corrispondono ai punti di flesso. La curvatura è massima, in valore assoluto, nei punti di massimo e di minimo della funzione, dove il raggio del cerchio osculatore è minimo.

Note

Perché diciamo che nei punti di flesso il grafico ha un tratto rettilineo? Tutto dipende dai punti di contatto fra il grafico e la tangente. In genere la tangente in un punto $a$ al grafico della funzione si distanzia ben presto dalla funzione: nei punti $a+dx$ le differenze fra i valori della tangente e quelli della funzione sono infinitesimi di ordine superiore a $dx$ , in genere dell’ordine di $(dx)^2$ . Nei punti di flesso, però, queste differenze sono dell’ordine di $(dx)^3$ , quindi il contatto è molto più alto perché nella monade di $a$ nemmeno un microscopio che vede gli infinitesimi dell’ordine di $(dx)^2$ riesce distinguere queste distanze.

Confrontiamo il grafico della derivata seconda con quello della curvatura.

Grafico della derivata seconda e della curvatura

I due grafici si distinguono: i punti di massima curvatura non sono quelli in cui è massima la derivata seconda. Infatti la derivata seconda dà una misura della concavità, non della curvatura.

Riassunto¶

Le funzioni iperreali hanno per dominio intervalli di numeri che sono estensione di intervalli reali. Gli intervalli estesi contengono numeri standard e non standard (infiniti, infinitesimi) e mantengono le stesse proprietà date per gli intervalli reali.
Rispetto al dominio, un punto può essere interno, esterno o di frontiera. Si dice interno all’estensione di un intervallo, il punto la cui monade vi è inclusa. Si dice di frontiera il punto nella cui monade vi sono sia punti interni che punti esterni.
Si dice isolato il punto di frontiera per il quale l’intersezione fra la sua monade e l’intervallo è data solo dal punto stesso. Se invece oltre al punto, nell’intersezione cadono altri punti della monade, allora il punto si dice di accumulazione.
Il procedimento che porta a disegnare manualmente nel modo più preciso il grafico di una funzione, si chiama studio di funzione. Consiste dei seguenti passi: 1. Definizione del dominio; 2. Analisi delle simmetrie; 3. Calcolo delle intersezioni con gli assi; 3. Studio del segno delle funzione; 5. Studio del comportamento asintotico. 6. Studio dell’andamento e ricerca dei massimi e dei minimi; 7. Analisi delle concavità e ricerca dei punti di flesso.
Per completare le informazioni precedenti è possibile approfondire il lavoro con l’analisi delle curvature del grafico. Attraverso opportuni calcoli è anche possibile calcolare il raggio e il centro del cerchio osculatore ad un punto qualsiasi del grafico.
I software dedicati sono utili e potenti strumenti per il tracciamento dei grafici. Non sempre consentono di definire con precisione i punti notevoli e quindi spesso il loro lavoro deve essere integrato con gli strumenti del calcolo differenziale.

Esercizi¶

Definisci il punto $c$ come punto di accumulazione sinistro nei tre casi in cui questa definizione ha senso.
Ripercorri tutte le fasi dell’esercizio guida, esplicitando anche i calcoli sottintesi.
Applica le formule per il calcolo della curvatura al grafico della sinusoide, di cui puoi osservare il disegno nel testo.
Svolgi i calcoli indicati dal testo per trovare il raggio di massima curvatura della funzione logaritmo e applica al caso del logaritmo le formule per trovare le coordinate del centro.