I differenziali, le differenze e i problemi¶

Quale tipologia di problema¶

Nel Cap.5 abbiamo risolto alcuni problemi con il calcolo delle differenze. Si tratta di problemi nei quali si chiede quale incremento $\Delta x$ può provocare nella funzione y un certo incremento dato $\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)$ . Abbiamo già avvisato che si tratta di problemi in generale tutt’altro che semplici, perchè non è detto che sia possibile trovare un’espressione risolutiva esplicita.

Si cerca allora di superare le difficoltà con gli incrementi infinitesimi $dy=f(x+dx)-f(x)$ , perché già sappiamo che $\frac{dy}{dx}=f'(x)$ e quindi $dx=\frac{dy}{f'(x)}$ fornisce il valore dell’incognita cercata. Ma quali difficoltà comporta utilizzare gli incrementi infinitesimi rispetto agli incrementi finiti e quali relazioni legano gli uni agli altri?

Differenze e differenziali¶

Al microscopio non standard, il grafico della funzione nel punto di ascissa x appare indistinguibile da un segmento inclinato con pendenza $f'(x)$ . Ma sappiamo che indistinguibile non vuol dire esattamente coincidente e inoltre è una comoda convenzione dire che $f'(x)=\frac{dy}{dx}$ , perché l’uguaglianza esatta si limita alla parte standard del rapporto differenziale. Per essere precisi si dovrebbe scrivere $\frac{dy}{dx}=f'(x)+\epsilon$ , dove $\epsilon$ è la parte infinitesima. Allora si ricava $dy=f'(x)dx+\epsilon dx$ , dove l’ultimo termine è un infinitesimo di ordine superiore a dx. Affrontando un problema come quelli descritti, se utilizziamo $f'(x)dx$ al posto di $dy$ , commettiamo un errore che è infinitesimo di ordine superiore a dx.

L’errore è ancora maggiore, in generale non infinitesimo, se utilizziamo incrementi standard $\Delta x$ , e tuttavia è un errore contenuto, pensando $\Delta x$ sufficientemente piccolo.

Così, non riuscendo a risolvere il problema con l’equazione corretta $\Delta y =f(x+\Delta x)-f(x)$ , che esprime l’incremento della funzione, ci accontentiamo di:

$\Delta y=f'(x)\Delta x$

che esprime l’incremento della tangente, pur sapendo che la formula comporta un errore. Il vantaggio è che così è facile calcolare l’espressione risolutiva: $\Delta x= \frac{\Delta y}{f'(x)}$ .

Applichiamo questa nuova strategia risolutiva agli esempi già visti (Problemi 1 e 2) e cerchiamo di valutare l’errore che comporta l’uso di quest’ultima espressione rispetto alla soluzione esatta. Infine applichiamo la formula approssimata a due problemi nuovi.

Problema 1: La corona circolare¶

Un cerchio ha il raggio di 5 cm. Di quanto deve aumentare il raggio perché l’area del cerchio aumenti di $0.8 cm^2$ ?

L’area è $A(r)=f(r)=\pi r^2$ , che ha per derivata $f'(r)=2\pi r$ . $\Delta A=0.8$ . La formula risolutiva dà: $\Delta r=\frac{\Delta A}{f'(r)}=\frac{0.8}{2\pi 5}=0.025 cm$ .

Questo problema è stato illustrato nel Cap.5 e la soluzione, ricavata con il calcolo del rapporto incrementale, era: $\Delta r=-5+\sqrt{25+\frac{0.8}{\pi}}=0.025$ . La formula dava la soluzione esatta, ma nel risultato avevamo tagliato i decimali. Ricalcoliamo entrambi i risultati con la calcolatrice e abbiamo: Soluzione esatta: 0.025400. Soluzione approssimata: 0.025465 Quindi l’approssimazione è molto buona. In più si consideri l’immediatezza della formula risolutiva approssimata che oltretutto non ha alternativa nei casi in cui non sia possibile esprimere una formula risolutiva esatta.

Di quanto aumenta il raggio perché l’area aumenti di 0.8?

La formula approssimata $\Delta A(r)=2\pi r\cdot \Delta r$ esprime anche un significato geometrico: si può pensare che la sottile corona circolare che rapprenta l’area aggiunta sia deformabile e corrisponda all’area di un rettangolo con la base pari alla circonferenza $2\pi r$ e l’altezza $\Delta r$ .

Problema 2: Il triangolo¶

Riproponiamo anche questo secondo problema, del quale nel Cap.5 abbiamo già esaminato la formula risolutiva esatta.

Un triangolo di lati a, b rispettivamente uguali a 5 e 8 cm e angolo compreso di 40°, subisce un incremento di area di $0.1 cm^2$ . Quale incremento di angolo $\Delta \gamma$ provoca tale incremento di area?

Di quanto aumenta $\gamma$ perché l’area aumenti di $0.1\ cm^2$ ?

L’area si ricava da: $S=S(\gamma)=\frac{1}{2}ab \sin\gamma$ . Poiché il suo incremento è picccolo, utilizziamo la formula approssimata $\Delta x= \frac{\Delta y}{f'(x)}$ che nel nostro caso diventa: $\\ \Delta \gamma=\frac{\Delta S}{S'(\gamma)}=\frac{2\Delta S}{abcos\gamma}=\frac{2\cdot 0.1}{40\cos 40^{\circ}}=0.00653=0.374^{\circ}=22.4'$ .

Nel Cap.5 la formula risolutiva esatta era: $\Delta \gamma=\arcsin\left(\frac{2\Delta S}{ab}-\sin\gamma\right)-\gamma$ che portava al risultato di $0.375^{\circ}=22,5'$ . La formula approssimata è dunque più semplice e porta ad una errore minimo, di circa una parte su 400.

Supponiamo di non conoscere le derivate e quindi nemmeno la formula approssimata $\frac{2\Delta S}{abcos\gamma}$ . Attraverso quali considerazioni geometriche possiamo ricavarla? Dobbiamo puntare in A un microscopio standard (l’incremento $\Delta \gamma$ è piccolo, non infinitesimo) e visualizzare il nuovo vertice A’ che si ottiene dopo avere incrementato $\gamma$ . Il segmento BA’ riduce l’area del triangolo iniziale, mentre il segmento CA’ la aumenta. Quindi l’incremento $\Delta S$ ottenuto grazie a $\Delta \gamma$ è la differenza fra le aree $S(A'DC)-S(ABD)$ . Per calcolare l’area S(A’DC) la approssimiamo a quella del triangolo A’AC che a sua volta è approssimabile al settore circolare di centro C e arco $b\Delta\gamma=\overline{AA'}$ . In conclusione $S(A'DC)=\frac{1}{2}(b\Delta\gamma)b=\frac{1}{2}b^2\Delta\gamma$ . Fissiamo E , proiezione di A su A’B . Avremo $\overline{AE}=\overline{AA'} \cos\alpha = b\Delta\gamma\cos\alpha$ . Approssimiamo anche il triangolo ABD al triangolo ABE e questo ,a sua volta, al settore circolare di arco AE e angolo $\beta$ . Quindi $S(ABD)=S(ABE)=\frac{1}{2}(b\Delta\gamma\cos\alpha)c=\frac{1}{2}bc\Delta\gamma\cos\alpha$ . La differenza (approssimata) delle due aree risulta $S(A'DC)-S(ABD)=\frac{1}{2}b^2\Delta\gamma-\frac{1}{2}bc\Delta\gamma\cos\alpha=\frac{1}{2}b\Delta\gamma(b-c\cos\alpha)$ . L’espressione tra parentesi equivale a $a\cos\gamma$ , quindi, alla fine abbiamo $\Delta S=\frac{1}{2}ab\cos\gamma\Delta\gamma$ , che è la stessa espressione utilizzata per risolvere il problema.

Come si vede, l’uso delle derivate ci risparmia un percorso deduttivo tutt’altro che immediato.

Problema 3: La bolla¶

Una bolla di sapone del raggio di 8.5 cm pesa 0.24 grammi. Quale è il suo spessore?

Si immagina che la densità dell’acqua saponata sia di $1\ \frac{g}{cm^3}$ e quindi la bolla ha volume di $0.24 \ cm^3$ . Il volume è un sottile guscio sferico, di raggio interno pari a r e spessore $\Delta r$ molto piccolo rispetto a r. Possiamo pensare di descrivere il volume del guscio come la differenza fra due sfere concentriche: $\Delta V=V(r+\Delta r)-V(r)$ , con $V(r)=\frac{4}{3}\pi r^3$ . Applicando la formula esatta della differenza, abbiamo: $\Delta V(r)=\frac{4}{3}\pi \Delta r^3=\frac{4}{3}\pi(3r^2\Delta r+3r(\Delta r)^2+\Delta r^3)$ cioé un’equazione di terzo grado in $\Delta r$ , complicata da risolvere.

Invece la formula approssimata ci dà: $\Delta r =\frac{\Delta V}{V'(r)}=\frac{\Delta V}{4\pi r^2}=\frac{0.25}{4\pi (8.5)^2}=0.00026\ cm$ .

Note

La formula risolutiva approssimata è sempre un’equazione di primo grado in $\Delta x$ .

Problema 4: Il numero di Eulero¶

Il numero di Eulero $\gamma=0.577...$ viene utilizzato nel calcolo $f(\gamma)=\gamma^{-8}cot\gamma$ . Qual’è il minimo numero di decimali da utilizzare in $\gamma$ per avere un errore massimo di 0.001?

La funzione $y=x^{-8}\cot x$ ha per derivata $f'(x)=-8x^{-9}\cot x-\frac{x^{-8}}{\sin^2 x}$ . Se $x=\gamma=0.577$ e $\Delta y=0.001$ , calcolando $\Delta x=\frac{\Delta y}{f'(x)}$ si ottiene $\Delta x = 5\times 10^{-7}$ , un numero con 7 cifre decimali. Quindi la risposta è 7 cifre decimali.

Verifichiamo. Con 15 cifre decimali, il numero $\gamma=0.577215664901532$ , quindi con 7 decimali è $\gamma=0.5772157$ . Provando a calcolare $f(\gamma)=\gamma^{-8}cot\gamma$ con i valori $\gamma=0.5772156$ e $\gamma~=~0.5772158$ , cioé aumentando e poi diminuendo di uno l’ultima cifra decimale, si ottengono $f(0.5772156)=124.619$ e $f(0.5772158)=124.618$ , che sono risultati uguali a meno di 0.001. Se riproviamo fermandoci a 6 cifre decimali e calcolando la funzione con la sesta cifra decimale variata di un’unità, stavolta i risultati differiscono di più di un millesimo.

La contrazione dell’errore¶

Quale ragionamento guida la soluzione del problema 4? Se usiamo una funzione con un numero approssimato $x\pm\Delta x$ avremo un risultato anch’esso approssimato $f(x\pm\Delta x)=\Delta y$ . Se $\Delta x$ è piccolo possiamo usare la formula approssimata $\Delta y = f'(x)\Delta x$ , che equivale ad approssimare il grafico della funzione nel punto di ascissa x con la tangente. La derivata avrà segno positivo o negativo a seconda che gli incrementi siano di segno concorde o discorde. Ma se consideriamo solo i valori assoluti degli incrementi, allora avremo $\Delta y=\left | f'(x)\right |\Delta x$ . $\Delta y$ può essere pensato come incremento oppure come approssimazione (errore assoluto) del valore della funzione, e analogamente $\Delta x$ .

Se la derivata vale 1 (in valore assoluto), $\Delta y= \Delta x$ , l’errore sulla variabile è uguale all’errore sulla funzione.
Se $\left | f'(x)\right |>1$ , allora la funzione dilata l’errore.
Se infine $| f'(x) | < 1$ , significa che la funzione “reagisce” all’incremento $\Delta x$ con un incremento minore: la funzione contrae l’errore.

Il metodo delle contrazioni per approssimare la soluzione delle equazioni si basa su questo principio.

Riassunto¶

Se $\Delta x$ è piccolo si può approssimare la formula $dy~=~f'(x)dx$ con la formula $\Delta y~=~f'(x)\Delta x$ . L’approssimazione è utile, a volte indispensabile, nei problemi in cui si chiede di ricavare l’incremento $\Delta x$ che provoca un dato incremento $\Delta y$ .
L’equazione risolutiva approssimata $\Delta x=\frac{\Delta y}{f'(x)}$ è di primo grado ed è di facile soluzione. Al contrario, non sempre è facile o possibile dedurre la formula risolutiva dall’equazione esatta $\Delta y =f(x+\Delta x) -f(x)$ .
In alcuni problemi, per i quali entrambe le formule sono utilizzabili, si confronta la soluzione esatta con quella approssimata e si può verificare come la soluzione approssimata sia ampiamente sufficiente.